Funciones elípticas de Weierstraß

La función P de Weierstrass definida sobre una porción del plano complejo utilizando una técnica usual de visualización en la cual el blanco corresponde a un polo, negro a un cero, y la máxima saturación a ${\displaystyle \left|f(z)\right|=\left|f(x+iy)\right|=1\;.}$ Notar la retícula regular de los polos, y dos retículas que se entrecruzan de ceros.

Se puede definir a la función elíptica de Weierstrass de tres maneras muy similares, cada una de ellas posee ciertas ventajas. Una es como una función de variable compleja ${\displaystyle z}$ y una retícula ${\displaystyle \Lambda }$ en el plano complejo. Otra es en término de ${\displaystyle z}$ y dos números complejos ${\displaystyle \omega _{1}}$ y ${\displaystyle \omega _{2}}$ que definen un par de generadores, o períodos, de la retícula. La tercera es en término de ${\displaystyle z}$ y de un módulo ${\displaystyle \tau }$ en el semiplano superior. Esta se relaciona con la definición previa mediante la siguiente expresión ${\displaystyle \tau =\omega _{2}/\omega _{1}}$, la cual en virtud de la convención usual de pares de períodos se encuentra en el semiplano superior. Utilizando este método, para un ${\displaystyle z}$ fijo las funciones de Weierstrass resultan ser funciones modulares de ${\displaystyle \tau }$.

Considerando los dos períodos la función elíptica de Weierstrass es una función elíptica con períodos ${\displaystyle \omega _{1}}$ y ${\displaystyle \omega _{2}}$ definida como

${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{m^{2}+n^{2}\neq 0}\left\{{\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\}.}$

Entonces ${\displaystyle \Lambda =m\omega _{1}+n\omega _{2}}$ son los puntos de la retícula de período, por lo que

${\displaystyle \wp (z;\Lambda )=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})}$

para todo par de generadores de la retícula define la función de Weierstrass como una función de una variable compleja y una retícula.

Si ${\displaystyle \tau }$ es un número complejo en el semiplano superior, entonces

${\displaystyle \wp (z;\tau )=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}{1 \over (z-n-m\tau )^{2}}-{1 \over (n+m\tau )^{2}}.}$

La suma indicada previamente es homogénea con un grado menos dos, con lo cual se puede definir la función ${\displaystyle \wp }$ de Weierstrass para todo par de períodos, como

${\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\wp (z/\omega _{1};\omega _{2}/\omega _{1})/\omega _{1}^{2}.}$

• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
• K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
• Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis, Cambridge University Press, 1952, chapters 20 and 21
• Konrad Knopp, Funktionentheorie II (1947), Dover; Republished in English translation as Theory of Functions (1996), Dover ISBN 0-486-69219-1
• Abramowitz and Stegun, chapter 18

• Weisstein, Eric W. «Weierstrass Elliptic Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Funciones elípticas, página de análisis complejo de Hans Lundmark.