Función simétrica

En matemáticas, una función en variables se dice simétrica si su valor no cambia al modificar el orden de sus argumentos. Por ejemplo, una función de dos variables es una función simétrica si y sólo si para cualesquiera y tales que y están en el dominio de Las funciones simétricas más importantes son las polinómicas, que vienen dadas por los polinomios simétricos.

Una noción relacionada es la de polinomio alterno, que se refiere a un polinomio que cambia de signo al intercambiar dos variables. Además de las funciones polinómicas, los tensores que actúan como funciones de varios vectores también pueden ser simétricos, y de hecho el espacio de los -tensores simétricos sobre un espacio vectorial es isomorfo al espacio de polinomios homogéneos de grado sobre No debe confundirse el concepto con el de funciones pares e impares, que tienen un tipo diferente de simetría.

Simetrización

Dada cualquier función en variables que toma valores en un grupo abeliano, se puede construir una función simétrica sumando los valores de sobre todas las permutaciones de sus argumentos. De manera similar, se puede construir una función antisimétrica sumando en las permutaciones pares y restando la suma en las permutaciones impares. Estas operaciones, por supuesto, no son invertibles, y bien podrían dar como resultado una función que es idénticamente cero para funciones no triviales. El único caso general en el que se puede recuperar si se conocen tanto su simetrización como su antisimetrización es cuando y el grupo abeliano admite división por 2 (inversa de la duplicación); en ese caso es igual a la mitad de la suma de su simetrización y su antisimetrización.

Ejemplos

Por definición, una función simétrica en variables tiene la siguiente propiedad:

En general, la función se mantiene igual bajo cualquier permutación de sus variables. Esto significa que, en este caso,

y así sucesivamente, para todas las permutaciones de .

  • La función

cumple que, al intercambiar e , se obtiene , que da exactamente los mismos resultados que la original .

  • Si viene ahora dada por

.

Si se intercambian las variables, se convierte en . Esta función no coincide con la original si , y por lo tanto no es simétrica.

Aplicaciones

Estadística

En estadística, un estadístico -muestral (una función en variables) que se obtiene simetrizando mediante bootstrapping un estadístico -muestral, produciendo una función simétrica en variables, se llama estadístico U. Algunos ejemplos son la media muestral y la varianza muestral.

Véase también

Bibliografía

  • F. N. David, M. G. Kendall & D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press.
  • Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, & Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-73794-4.
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