Función simétrica

Dada cualquier función ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle n}$ variables que toma valores en un grupo abeliano, se puede construir una función simétrica sumando los valores de ${\displaystyle f}$ sobre todas las ${\displaystyle n!}$ permutaciones de sus argumentos. De manera similar, se puede construir una función antisimétrica sumando en las permutaciones pares y restando la suma en las permutaciones impares. Estas operaciones, por supuesto, no son invertibles, y bien podrían dar como resultado una función que es idénticamente cero para funciones no triviales. El único caso general en el que ${\displaystyle f}$ se puede recuperar si se conocen tanto su simetrización como su antisimetrización es cuando ${\displaystyle n=2}$ y el grupo abeliano admite división por 2 (inversa de la duplicación); en ese caso ${\displaystyle f}$ es igual a la mitad de la suma de su simetrización y su antisimetrización.

• Se considera la función real dada por:

$${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).}$$

Por definición, una función simétrica en ${\displaystyle n}$ variables tiene la siguiente propiedad:

$${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(x_{2},x_{1},...,x_{n})=f(x_{3},x_{1},...,x_{n}),\quad {\text{etc.}}}$$

En general, la función se mantiene igual bajo cualquier permutación de sus variables. Esto significa que, en este caso,

$${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})}$$

y así sucesivamente, para todas las permutaciones de ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$.

• La función

$${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}}$$

cumple que, al intercambiar ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, se obtiene ${\displaystyle f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2}}$, que da exactamente los mismos resultados que la original ${\displaystyle f(x,y)}$.

• Si ${\displaystyle f}$ viene ahora dada por

$${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}}$$

.

Si se intercambian las variables, ${\displaystyle f}$ se convierte en ${\displaystyle f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}}$. Esta función no coincide con la original si ${\displaystyle a\neq b}$, y por lo tanto no es simétrica.

• Polinomio simétrico
• Polinomio simétrico elemental
• Polinomio alterno
• Simetrización y antisimetrización de tensores
• Funciones pares e impares - Funciones matemáticas con simetrías específicas
• Polinomio de Vandermonde (determinante de la matriz de Vandermonde)

• F. N. David, M. G. Kendall & D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press.
• Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, & Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-73794-4.