Función simétrica monomial

Las funciones simétricas monomiales son una clase especial de funciones simétricas que forman la base más simple del espacio vectorial de funciones simétricas.

Definición

Si $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})$ es una partición, se construye el monomio

$x^{\lambda }=x_{1}^{\lambda _{1}}x_{2}^{\lambda _{2}}\cdots x_{n}^{\lambda _{n}}$ .

La suma de tales monomios sobre todas las permutaciones distintas de $\lambda$ , da como resultado un polinomio simétrico denotado $m_{\lambda }\,$ .

(Función simétrica monomial) La función simétrica monomial asociada a la partición $\lambda \vdash n$ es la suma

$m_{\lambda }=\sum _{\sigma }x^{\sigma }\,$ ,

donde $\sigma$ recorre todas las permutaciones distintas de $\lambda$ .

Ejemplos

Las funciones simétricas monomiales en cuatro variables para las particiones más pequeñas son:

$m_{\emptyset }=1$ .
$m_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\,$ .
$m_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}$ .
$m_{11}=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}\,$ .
$m_{3}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}$ .
$m_{21}=x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}^{1}+x_{1}^{2}x_{3}+x_{3}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{4}+x_{4}^{2}x_{1}+x_{2}^{2}x_{3}+x_{3}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{4}+x_{4}^{2}x_{2}+x_{3}^{2}x_{4}+x_{4}^{2}x_{3}$ .

Obsérvese que en $m_{11}$ sólo aparece $x_{1}x_{3}$ y no $x_{3}x_{1}$ , porque ambas corresponden a la misma permutación $(1010)$ de la partición $(1100)$ . En particular, se consideran todas las particiones de un entero $n$ como si tuvieran $n$ partes, añadiendo entradas cero de ser necesario.

Propiedades

Cualquier función simétrica en n variables

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{\sigma }x^{\sigma }$

puede reescribirse en términos de funciones simétricas monomiales como

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{\lambda }m_{\lambda }$ ,

por lo que el conjunto de funciones simétricas monomiales indizadas por las particiones de n

$\{m_{\lambda }:\lambda \vdash n\}$

forma una base del espacio vectorial $\Lambda _{n}$ de funciones simétricas en n variables.

Una consecuencia de la relación anterior es el siguiente teorema.

La dimensión del espacio vectorial $\Lambda _{n}$ sobre $\mathbb {Q}$ de funciones simétricas en n variables es igual al número $p(n)$ de particiones del entero n, y el conjunto de funciones simétricas monomiales es una base de dicho espacio vectorial.

Datos: Q2876002

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