Funciones de Weierstrass

La función sigma de Weierstrass asociada a una grilla bidimensional ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} }$ se encuentra definida por el producto

${\displaystyle \sigma (z;\Lambda )=z\prod _{w\in \Lambda ^{*}}\left(1-{\frac {z}{w}}\right)e^{z/w+{\frac {1}{2}}(z/w)^{2}}}$

donde:

${\displaystyle \Lambda ^{*}\,}$ denota el conjunto ${\displaystyle \Lambda -\{0\}\,}$

La función zeta de Weierstrass se encuentra definida por la suma

${\displaystyle \zeta (z;\Lambda )={\frac {\sigma '(z;\Lambda )}{\sigma (z;\Lambda )}}={\frac {1}{z}}+\sum _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{z-w}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z}{w^{2}}}\right).}$

Notar que la función zeta de Weierstrass es básicamente la derivada logarítmica de la función sigma. La función zeta puede ser reescrita como:

${\displaystyle \zeta (z;\Lambda )={\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{2k+2}(\Lambda )z^{2k+1}}$ donde ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2k+2}}$ es la serie de Eisenstein de peso ${\displaystyle 2k+2}$.

También es interesante notar que la derivada de la función zeta es ${\displaystyle \scriptstyle -\wp (z)}$, donde ${\displaystyle \scriptstyle \wp (z)}$ es la función elíptica de Weierstrass.

No debe confundirse la función zeta de Weierstrass con la función zeta de Riemann de la teoría de números.

La función eta de Weierstrass está definida por la expresión

${\displaystyle \eta (w;\Lambda )=\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda ),{\mbox{ para todo }}z\in \mathbb {C} }$

Se puede demostrar que está bien definida, o sea ${\displaystyle \zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )}$ solo depende de w. No se debe confundir la función eta de Weierstrass con la función eta de Dedekind.

La función p de Weierstrass está definida por la expresión

${\displaystyle \wp (z;\Lambda )=-\zeta '(z;\Lambda ),{\mbox{ para todo }}z\in \mathbb {C} }$

La función p de Weierstrass es una función par elíptica de orden N=2 con un único polo doble en cada grilla.