Homeomorfismo local

• Todo homeomorfismo es, por supuesto, un homeomorfismo local. El recíproco no es cierto, como muestra este ejemplo:

  f: R → S¹,   f(x) = exp(2πix)

  es un recubrimiento del círculo y homeomorfismo local, pero no homeomorfismo pues no es inyectivo.

• Si U es un abierto de Y equipado con la topología relativa, entonces la aplicación inclusión i : U → Y es un homeomorfismo local. La condición de ser abierto es esencial aquí, pues la aplicación inclusión de un subconjunto no abierto nunca constituye un homeomorfismo local.

• Sea f : S¹ → S¹ la aplicación que envuelve el círculo sobre sí mismo n veces, con n distinto de cero. Será un homeomorfismo local. Es más, será un homeomorfismo en los casos en que sea biyectiva (i.e. n = 1 o -1).

• En análisis complejo se demuestra que una función holomorfa f es un homeomorfismo local precisamente cuando la derivada f '(z) es no nula para todo z del dominio de f. Por ejemplo, la función

f: C^* → C^*,   f(z) = zⁿ

definida en el abierto C^* = C \ {0} es un homeomorfismo local para todo n natural positivo.

• Toda aplicación recubridora es un homeomorfismo local. En cambio, un homeomorfismo local, aunque sea exhaustivo, puede no ser una aplicación recubridora.

• Todo homeomorfismo local es una aplicación continua y abierta. Como consecuencia, un homeomorfismo local biyectivo será un homeomorfismo.

• La composición de dos homeomorfismos locales también lo es. Por lo tanto, la restricción de un homeomorfismo local a un abierto del dominio también lo es.

• Un homeomorfismo local preserva propiedades topológicas locales:
  • X será localmente conexo si y solo si f(X) lo es.
  • X será localmente compacto si y solo si f(X) lo es.
  • X verificará el primer axioma de numerabilidad si y solo si f(X) lo hace.

• homeomorfismo
• difeomorfismo local
• espacio recubridor

• Lee, John, Introduction to Topological Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 202, Springer, New York, 2000, ISBN 0-387-98759-2