Homomorfismo de anillos

Dado que existen distintos tipos de anillos, hay que particularizar la definición.

• ${\displaystyle f(0)=0}$. En efecto, ${\displaystyle f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)}$, luego ${\displaystyle f(0)=0}$.

• Si R' es subanillo de R, entonces ${\displaystyle f(R')}$ es subanillo de S.

• Si S' es subanillo de S, entonces ${\displaystyle f^{-1}(S')}$ es subanillo de R.

• Sean R y S dos anillos y ƒ un homomorfismo de R en S, entonces el núcleo de ƒ es un ideal bilátero.

• Sean R y S dos anillos y ƒ un homomorfismo de anillos de R en S. Entonces:

• si J es un ideal bilátero de S, ${\displaystyle f^{-1}(J)}$ es un ideal bilátero de R. Si, además, J es un ideal primo de S, entonces ${\displaystyle f^{-1}(J)}$ es un ideal primo de R.

• Si I es ideal por la izquierda de S, entonces ${\displaystyle f^{-1}(I)}$ es ideal por la izquierda de R.

• Si I es ideal por la derecha de S, entonces ${\displaystyle f^{-1}(I)}$ es ideal por la derecha de R.

• Sea R un anillo e I un ideal bilátero de R, entonces la aplicación canónica de R en el anillo cociente R/I es un homomorfismo suprayectivo.

• Si ƒ es homomorfismo exhaustivo e I es ideal por la izquierda de R, entonces ${\displaystyle f^{-1}(I)}$ es ideal por la izquierda de R.

• Si ƒ es homomorfismo exhaustivo e I es ideal por la derecha de R, entonces ${\displaystyle f^{-1}(I)}$ es ideal por la derecha de R.

• Si ƒ es homomorfismo exhaustivo e I es ideal de R, entonces ${\displaystyle f^{-1}(I)}$ es ideal de R.

• Sean R y S dos anillos, y ƒ un homomorfismo de anillos de R en S. Usemos la notación s para la aplicación canónica de R en el anillo cociente R/I e i para el homomorfismo de ƒ(R) en S que a b asocia b. Entonces, i es un homomorfismo inyectivo, s es suprayectivo y existe una biyección b tal que:

${\displaystyle f=i\circ b\circ s}$

Se dice que ${\displaystyle f}$ es un monomorfismo si es una aplicación inyectiva, es decir, ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ implica que ${\displaystyle a=b}$, cualesquiera que sean ${\displaystyle a,b\in R}$. Esto es equivalente a decir que ${\displaystyle \ker(f)=\{0\}}$.

Se dice que ${\displaystyle f}$ es un epimorfismo si es una aplicación sobreyectiva, es decir, ${\displaystyle f(R)=\operatorname {im} (f)=S}$. No obstante, muchos autores prefieren no utilizar esta denominación, y hablar sólo de homomorfismos sobreyectivos (u homomorfismos exhaustivos). La razón es que el término epimorfismo tiene un significado más general en Teoría de Categorías. Desde este punto de vista (categórico), un epimorfismo de anillos no es necesariamente una aplicación sobreyectiva, aunque todos los homomorfismos de anillos sobreyectivos sí resultan ser epimorfismos.

Se dice que ${\displaystyle f}$ es un isomorfismo si existe el homomorfismo inverso ${\displaystyle f^{-1}:S\to R}$ de manera que ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\mathrm {Id} _{S}}$ y ${\displaystyle f^{-1}\circ f=\mathrm {Id} _{R}}$. Esto ocurre si y sólo ${\displaystyle f}$ si es una aplicación biyectiva, es decir, ${\displaystyle f}$, es a la vez monomorfismo y homomorfismo exhaustivo.

• Homomorfismo

• Weisstein, Eric W. «Ring Homomorphism». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Homomorfismo de anillos en PlanetMath.