IEEE 754

La versión actual del estándar, denominada IEEE 754-2008, publicada en agosto de 2008, se deriva de la versión anterior (IEEE 754-1985) a la cual seguida por un proceso de revisión de siete años, presidido por Dan Zuras y editado por el profesor de ciencias de la computación Mike Cowlishaw.

El estándar internacional ISO/IEC/IEEE 60559:2011, con contenido idéntico al IEEE 754-2008 ha sido aprobado para su adopción a través del comité técnico conjunto ISO/IEC JTC 1/SC 25 en virtud del acuerdo ISO/IEEE PSDO[2] y publicado.[3]

Los formatos binarios en el estándar original se incluyen en el nuevo estándar junto con tres nuevos formatos básicos (uno binario y dos decimales). Para cumplir con el estándar actual, debe ser implementado al menos uno de los formatos básicos tanto como formato aritmético, como de intercambio. En septiembre de 2015, la norma empezó a ser revisada para incorporar aclaraciones y erratas.[4][5]

Un formato IEEE 754 es un conjunto de representaciones de valores numéricos y símbolos. Un formato también puede incluir cómo se codifica el conjunto.

Un formato comprende:

• Números finitos, que pueden ser de base 2 (binario) o de base 10 (decimal). Cada número finito se describe por tres enteros: s (un bit de signo), c (un significando, mantisa o coeficiente) y q (exponente). El valor numérico ${\displaystyle v}$ de un número finito es:

${\displaystyle v=(-1)^{s}\times c\times b^{q}}$

Donde b es la base (2 o 10). Por ejemplo, si la base es 10, el signo es 1 (lo que indica signo negativo), el significando es 12345, y el exponente es -3, entonces el valor del número es: (−1)1 × 12345 × 10⁻³ = −1 × 12345 × .001 = −12.345.

• Dos infinitos: ${\displaystyle +\infty }$ y ${\displaystyle -\infty }$.

• Dos tipos de valores no numéricos (NaN): un NaN silencioso (qNaN) y un NaN de señalización (sNaN). Un NaN puede llevar una carga útil que está destinada a la información de diagnóstico que indica la fuente de la NaN. El signo de un NaN no tiene sentido, pero puede ser predecible en algunas circunstancias.

Los posibles valores finitos que se pueden representar en un formato están determinados por la base ${\displaystyle b}$, el número de dígitos en el significando (precisión p) y el parámetro exponente máximo ${\displaystyle e_{max}}$:

• c debe ser un número entero en el intervalo cerrado ${\displaystyle [0,b^{p}-1]}$. Por ejemplo, si b = 10 y p = 7 entonces c está en el intervalo cerrado [0, 9999999]).

• q debe ser un entero tal que ${\displaystyle 1-e_{\max }\leq q+p-1\leq e_{\max }}$. Si p = 7 y e_max = 96 entonces q está en el intervalo cerrado [-101, 90].

Por lo tanto (para los parámetros del ejemplo) el número positivo no nulo más pequeño que se puede representar es 1 × 10^-101 y el más grande es 9999999 × 10⁹⁰ (9,999999 × 10⁹⁶), y el rango completo de números está en el intervalo [-9,999999 × 10⁹⁶ a 9,999999 × 10⁹⁶]. Los números -b^1-emax y b^1-emax (en este ejemplo, -1 × 10^-95 y 1 × 10^-95) son los números normales más pequeños (en magnitud); los números no nulos entre estos números más pequeños se llaman números subnormales.

Los valores ceros son valores finitos con significando 0. Estos son ceros con signo, el bit de signo específica si un cero es +0 (cero positivo) o -0 (cero negativo).

El estándar IEEE 754 define cinco formatos básicos que se denominan por su base numérica y el número de bits utilizados en su codificación de intercambio. Existen tres formatos básicos binarios de punto flotante (codificados con 32, 64 o 128 bits) y dos formatos básicos de punto flotante decimal (codificados con 64 o 128 bits). Los formatos binary32 y binary64 son los formatos simple y doble del estándar original IEEE 754-1985. Una implementación conforme debe implementar completamente al menos uno de los formatos básicos.

El estándar también define los formatos de intercambio, que generalizan estos formatos básicos.[6] Para los números binarios, se requiere la convención de bit de entrada. La siguiente tabla resume los formatos de intercambio más pequeños (incluidos los más básicos).

Obsérvese que, en la tabla anterior, los exponentes mínimos listados son para números normales. La representación de números subnormales especiales permite representar números aún más pequeños (con cierta pérdida de precisión). Por ejemplo, el menor número de doble precisión mayor que cero que se puede representar en esa forma es 2^-1074 (porque 1074 = 1022 + 53 - 1). La cantidad de dígitos decimales es la cantidad de dígitos del número por el logaritmo decimal de la base, lo que da una precisión aproximada en decimal. La columna E max Decimal es Emax por el logaritmo decimal de la base, esto da el máximo exponente en decimal.

Como se indicó anteriormente, los formatos binary32 y binary64 son idénticos a los formatos simple y doble, respectivamente, del estándar origina IEEE 754-1985 y son dos de los formatos más comunes usados hoy en día. La figura siguiente muestra la precisión absoluta para los formatos binario32 y binario64 en el rango de 10^-12 a 10⁺¹². Tal figura puede usarse para seleccionar un formato apropiado, dado el valor esperado de un número y la precisión requerida.

Precisión de los números en formato binary32 y binary64 en el rango de 10⁻¹² a 10¹².

• Notación científica
• Coma flotante
• Tipo de dato real
• Intel 8087. El coprocesador numérico de donde surgió iniciativa para el estándar IEEE 754

• Referencias IEEE 754
• Let's Get To The (Floating) Point por Chris Hecker
• What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic by David Goldberg - una buena introducción y explicación.
• Curso de Representación de los Datos de Carlos Pes
• Comparing floating point numbers Bruce Dawson
• Calculadora de números binarios en coma flotante