Identidad de Binet-Cauchy
En álgebra, la identidad de Binet-Cauchy, que lleva el nombre de Jacques Philippe Marie Binet y de Augustin Louis Cauchy, establece que[1]
para cada elección de un número real o número complejo (o más generalmente, elementos de un anillo conmutativo). Al configurar ai = ci y bj = dj, se obtiene la identidad de Lagrange, que es una versión más fuerte de la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz para el espacio euclídeo .
La identidad de Binet-Cauchy y el álgebra exterior
Cuando n = 3, el primer y segundo términos en el lado derecho se convierten en las magnitudes cuadradas del producto escalar y del producto vectorial respectivamente; en las dimensiones n, se convierten en las magnitudes del producto esscalar y del producto exterior. Se puede escribir como
donde a, b, c y d son vectores. También se puede escribir como una fórmula que da el producto escalar de dos productos exteriores, como
que se puede escribir como
en el caso n = 3.
En el caso especial a = c y b = d, la fórmula se convierte en
Cuando tanto a como b son vectores unitarios, se obtiene la relación habitual
donde φ es el ángulo entre los vectores.
Notación de Einstein
Una relación entre los símbolos de Levi-Cevita y la delta de Kronecker generalizada es
La forma de la identidad de Binet-Cauchy se puede escribir como
Demostración
Desarrollando el último término,
donde el segundo y cuarto términos son iguales y se suman para completar los términos de la siguiente manera:
Esto completa la prueba después de factorizar los términos indexados por "i".
Generalización
Una forma general, también conocida como fórmula de Cauchy–Binet, establece lo siguiente: Supóngase que A es una matriz de orden m×n y B es una matriz de n×m. Si S es un subconjunto de {1, ..., n } con m elementos, se escribe AS para la matriz de m×m cuyas columnas son aquellas columnas de A que tienen índices de S. De manera similar, se escribe BS para la matriz de m×m cuyas filas son aquellas filas de B que tienen índices de S.
Entonces, el determinante del producto de A y B satisface la identidad
donde la suma se extiende sobre todos los posibles subconjuntos S de {1, ..., n} con m elementos.
Se obtiene la identidad original como un caso especial configurando
Referencias
- Eric W. Weisstein (2003). «Binet-Cauchy identity». CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd edición). CRC Press. p. 228. ISBN 1-58488-347-2.