Anexo:Identidades logarítmicas

Los logaritmos se utilizan generalmente para hacer más simples las operaciones. Por ejemplo, se pueden multiplicar dos números utilizando una tabla de logaritmos y sumando.

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,}$	porque	${\displaystyle b^{x}\cdot b^{y}=b^{x+y}}$
${\displaystyle \log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$	porque	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {b^{x}}{b^{y}}}\end{matrix}}=b^{x-y}}$
${\displaystyle \log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,}$	porque	${\displaystyle (b^{x})^{y}=b^{xy}\!\,}$
${\displaystyle \log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}}$	porque	${\displaystyle {\sqrt[{y}]{b^{x}}}=b^{x/y}}$

Los logaritmos y exponenciales (antilogaritmos) con la misma base se cancelan.

${\displaystyle b^{\log _{b}(x)}=x}$	porque	${\displaystyle \mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,}$
${\displaystyle \log _{b}(b^{x})=x\!\,}$	porque	${\displaystyle \log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,}$

${\displaystyle \log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}}$

Esta identidad se requiere para evaluar logaritmos con calculadoras. La mayoría de las calculadoras solo pueden procesar ln y log₁₀, pero no por ejemplo log₂. Para encontrar log₂(3), basta calcular log₁₀(3) / log₁₀(2) (o bien ln(3)/ln(2), que da idéntico resultado).

Esta fórmula tiene varias consecuencias:

${\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}$

${\displaystyle \log _{a^{n}}b={\frac {1}{n}}\log _{a}b}$

${\displaystyle a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{si }}a>1}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{si }}a<1}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{si }}a>1}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{si }}a<1}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0}$

El último límite se resume frecuentemente diciendo "los logaritmos crecen más lentamente que cualquier potencia o raíz de x".

${\displaystyle {d \over dx}\log _{a}x={d \over dx}{\ln x \over \ln a}={1 \over x\ln a}={\log _{a}e \over x}}$

${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C}$

Para recordar integrales más grandes, es conveniente definir:

${\displaystyle x^{\left[n\right]}:=x^{n}(\log(x)-H_{n})}$

Donde ${\displaystyle H_{n}}$ es el n-ésimo número armónico. Así, las primeras serían:

${\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}$

${\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}$

${\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}}$

${\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}}$

Entonces,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}}$

${\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}$