Modelo electrodébil

El modelo electrodébil convencional consiste en una teoría de campos de gauge en que el campo electrodébil es tratado como un campo de Yang-Mills. Es decir, en esa teoría los fermiones son descritos mediante un lagrangiano de Dirac generalizado adecuadamente para que sea invariante gauge bajo un cierto grupo gauge de simetría interna. En la formulación del Modelo Estándar (SM) no existe a priori una elección única de la simetría del lagrangiano de las interacciones electrodébiles. Se deduce, por tanto, de resultados experimentales.

De la evidencia experimental, se deduce que el grupo de simetría gauge mínimo capaz de acomodar las corrientes cargadas es SU(2). La observación empírica ha permitido constatar que las interacciones electrodébiles actúan de manera distinta sobre los fermiones dextrógiros y sobre los fermiones levógiros constituye una de las características de este modelo. La aparición de esta simetría a partir de un lagrangiano originalmente simétrico es explicado formalmente por el mecanismo de ruptura espontánea de simetría.

Así, las corrientes cargadas de Yang-Mills incluyen solamente fermiones levógiros y no se conocen neutrinos dextrógiros. Es por ello que los campos fermiónicos levógiros son agrupados en dobletes, mientras que los campos dextrógiros son singletes del grupo ${\displaystyle SU(2)_{L}}$ con simetría de isospín (donde el subíndice L únicamente indica la asimetría existente entre los fermiones de distinta helicidad):

	Levógiros			Dextrógiros
Leptones	${\displaystyle {\begin{pmatrix}n_{e}\\e\end{pmatrix}}_{L}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}n_{\mu }\\\mu \end{pmatrix}}_{L}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}n_{\tau }\\\tau \end{pmatrix}}_{L}}$	${\displaystyle e_{R}}$	${\displaystyle \mu _{R}}$	${\displaystyle \tau _{R}}$
Cuarks	${\displaystyle {\begin{pmatrix}u\\d\end{pmatrix}}_{L}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}c\\s\end{pmatrix}}_{L}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}t\\b\end{pmatrix}}_{L}}$	${\displaystyle u_{R}}$	${\displaystyle d_{R}}$	${\displaystyle c_{R}}$	${\displaystyle s_{R}}$	${\displaystyle t_{R}}$	${\displaystyle b_{R}}$

Lo que quiere decir que las partículas son representantes de un grupo de gauge ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{s}=\mathrm {U} (1)_{Y}\otimes \mathrm {SU} (2)_{L}}$. En la representación anterior no se puede (a menos que se rompa explícitamente la simetría gauge) introducir un término de masa en la lagrangiana que describe la cinemática de los fermiones. No obstante la realidad experimental da cuenta de la existencia de masa en los bosones vectoriales. Por otro lado las fuerzas electromagnética y débil actúan sobre los mismos campos fermiónicos y no pueden ser descritas por separado. Por todo ello, el grupo gauge mínimo que describe las interacciones electrodébiles es ${\displaystyle SU(2)_{L}\times U(1)_{Y}}$. La simetría gauge local del grupo ${\displaystyle SU(2)_{L}}$ está asociada a la conservación del isospín débil, ${\displaystyle T}$. La cantidad conservada por el grupo ${\displaystyle U(1)_{Y}}$ es la hipercarga, ${\displaystyle Y}$, que se relaciona con la carga eléctrica, ${\displaystyle Q}$, y con la tercera componente del isospín, ${\displaystyle T_{3}}$, por medio de la ecuación:

${\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {T} _{3}+{\frac {Y}{2}}\mathbf {I} }$

La exigencia de que la lagrangiana que contiene los términos cinemáticos de los campos fermiónicos sea invariante bajo transformaciones gauge definidas por el grupo de simetría ${\displaystyle SU(2)_{L}\times U(1)_{Y}}$ introduce de manera natural cuatro campos bosónicos sin masa: ${\displaystyle W_{\mu }^{i}(x)}$ (i = 1, 2, 3), asociados al grupo ${\displaystyle SU(2)_{L}}$, y ${\displaystyle B_{\mu }(x)}$, asociado al grupo ${\displaystyle U(1)_{Y}}$. Con estos campos se define la derivada covariante:

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }=\partial _{\mu }+\mathrm {i} {\frac {\mathrm {g} ^{\prime }}{2}}{\vec {\tau }}\cdot {\vec {W}}_{\mu }+\mathrm {i} \mathrm {g} {\frac {Y}{2}}\mathrm {B} _{\mu }}$

donde:

• ${\displaystyle g}$ es la constante de acoplamiento del grupo de isospín débil ${\displaystyle SU(2)_{L}}$ y
• g´ es la constante de acoplamiento del grupo de hipercarga ${\displaystyle U(1)_{Y}}$.

El vector ${\displaystyle {\vec {\tau }}}$ está formado por las tres matrices de Pauli generadas por el grupo ${\displaystyle SU(2)_{L}}$.

Finalmente la Lagrangiana electrodébil tendrá una expresión de la forma:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{EW}={\mathcal {L}}_{bos.}+{\mathcal {L}}_{ferm.}}$

donde las dos lagrangianas describen los campos bosónicos (subíndice bos.) y fermiónicos (subíndice ferm.) y pueden escribirse de la forma:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{bos.}}={\frac {1}{4}}W_{\mu \nu }W^{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{ferm.}}={\bar {\psi }}_{L}\gamma ^{\mu }\left(\mathrm {i} \partial _{\mu }-\mathrm {g} ^{\prime }{\frac {Y}{2}}B_{\mu }-\mathrm {g} {\frac {1}{2}}{\vec {\tau }}\cdot {\vec {W}}_{\mu }\right)\psi _{L}+{\bar {\psi }}_{R}\gamma ^{\mu }\left(\mathrm {i} \partial _{\mu }-\mathrm {g} ^{\prime }{\frac {Y}{2}}B_{\mu }\right)\psi _{R}}$

siendo:

${\displaystyle {\begin{matrix}W_{\mu \nu }&\equiv &\partial _{\mu }W_{\nu }-\partial _{\nu }W_{\mu }-g[W_{\mu },W_{\nu }]\\B_{\mu \nu }&\equiv &\partial _{\mu }B_{\nu }-\partial _{\nu }B_{\mu }\qquad \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\W_{\mu }&\equiv &{\frac {-\mathrm {i} }{2}}\,{\vec {\mathrm {W} }}_{\mu }\cdot {\vec {\tau }}\qquad \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\B_{\mu }&\equiv &{\frac {-\mathrm {i} }{2}}\,\mathrm {B} _{\mu }\cdot \tau ^{3}\qquad \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}}}$

No obstante, esta construcción resulta en bosones de masa nula. Sin embargo el hecho experimental de que las interacciones débiles actúan solo a distancias extremadamente pequeñas, era un indicador claro de que los bosones transmisores de la fuerza débil debían poseer masa, como fue demostrado posteriormente. Un término de masa de la forma ${\displaystyle {\frac {1}{2}}m^{2}W_{\mu }^{i}W_{i}^{\mu }}$ rompería explícitamente la simetría gauge, haciendo la teoría no renormalizable. El proceso por el cual se consigue introducir los términos de masa en el modelo se denomina ruptura espontánea de simetría electrodébil.

• Fuerzas fundamentales
• Ruptura espontánea de simetría
• Interacción nuclear débil
• Interacción electromagnética
• Hipercarga débil