Derivada covariante gauge

Considerar una transformación gauge genérica (posiblemente no-abeliana) dada por

${\displaystyle \phi (x)\rightarrow U(x)\phi (x)\equiv e^{i\alpha (x)}\phi (x),}$

${\displaystyle \phi ^{\dagger }(x)\rightarrow \phi ^{\dagger }(x)U^{\dagger }(x)\equiv \phi ^{\dagger }(x)e^{-i\alpha (x)},\qquad U^{\dagger }=U^{-1}.}$

donde ${\displaystyle \alpha (x)}$ es un elemento del álgebra de Lie asociada con el grupo de Lie de transformaciones, y se puede expresar en términos de los generadores como ${\displaystyle \alpha (x)=\alpha ^{a}(x)t^{a}}$.

La derivada parcial ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ transforma consiguientemente como

${\displaystyle \partial _{\mu }\phi (x)\rightarrow U(x)\partial _{\mu }\phi (x)+(\partial _{\mu }U)\phi (x)\equiv e^{i\alpha (x)}\partial _{\mu }\phi (x)+i(\partial _{\mu }\alpha )e^{i\alpha (x)}\phi (x)}$

y por tanto un término cinético de la forma ${\displaystyle \phi ^{\dagger }\partial _{\mu }\phi }$ no es invariante bajo esta transformación.

Podemos introducir la derivada covariante ${\displaystyle D_{\mu }}$ en este contexto como generalización de la derivada parcial ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ que transforma covariantemente bajo la transformación gauge, esto es, un objeto que satisface

${\displaystyle D_{\mu }\phi (x)\rightarrow D'_{\mu }\phi '(x)=U(x)D_{\mu }\phi (x),}$

que en términos de operadores toma la forma

${\displaystyle D'_{\mu }=U(x)D_{\mu }U^{\dagger }(x).}$

Así pues calculamos (omitiendo las dependencias explícitas en ${\displaystyle x}$ por brevedad)

${\displaystyle D_{\mu }\phi \rightarrow D'_{\mu }U\phi =UD_{\mu }\phi +(\delta D_{\mu }U+[D_{\mu },U])\phi }$,

donde

${\displaystyle D_{\mu }\rightarrow D'_{\mu }\equiv D_{\mu }+\delta D_{\mu },}$

${\displaystyle A_{\mu }\rightarrow A'_{\mu }=A_{\mu }+\delta A_{\mu }.}$

El requisito para que ${\displaystyle D_{\mu }}$ transforme covariantemente se traduce ahora en la condición

${\displaystyle (\delta D_{\mu }U+[D_{\mu },U])\phi =0.}$

Para obtener una expresión explícita hacemos el Ansatz

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu },}$

de donde se sigue que

${\displaystyle \delta D_{\mu }\equiv -ig\delta A_{\mu }}$

y

${\displaystyle \delta A_{\mu }=[U,A_{\mu }]U^{\dagger }-{\frac {i}{g}}[\partial _{\mu },U]U^{\dagger }}$

que ${\displaystyle U(x)=1+i\alpha (x)+{\mathcal {O}}(\alpha ^{2})}$ es de la forma

${\displaystyle \delta A_{\mu }={\frac {1}{g}}([\partial _{\mu },\alpha ]-ig[A_{\mu },\alpha ])+{\mathcal {O}}(\alpha ^{2})={\frac {1}{g}}[D_{\mu },\alpha ]+{\mathcal {O}}(\alpha ^{2})}$

Así que hemos encontrado un objeto ${\displaystyle D_{\mu }}$ tal que

${\displaystyle \phi ^{\dagger }(x)D_{\mu }\phi (x)\rightarrow \phi '^{\dagger }(x)D'_{\mu }\phi '(x)=\phi ^{\dagger }(x)D_{\mu }\phi (x)}$

Si una transformación gauge está dada por

${\displaystyle \psi \mapsto e^{i\Lambda }\psi }$

y para el potencial gauge

${\displaystyle A_{\mu }\mapsto A_{\mu }+{1 \over e}(\partial _{\mu }\Lambda )}$

entonces ${\displaystyle D_{\mu }}$ transforma como

${\displaystyle D_{\mu }\mapsto \partial _{\mu }-ieA_{\mu }-i(\partial _{\mu }\Lambda )}$,

y ${\displaystyle D_{\mu }\psi }$ transforma como

${\displaystyle D_{\mu }\psi \mapsto e^{i\Lambda }D_{\mu }\psi }$

y ${\displaystyle {\bar {\psi }}:=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ como

${\displaystyle {\bar {\psi }}\mapsto {\bar {\psi }}e^{-i\Lambda }}$

de modo que

${\displaystyle {\bar {\psi }}D_{\mu }\psi \mapsto {\bar {\psi }}D_{\mu }\psi }$

y ${\displaystyle {\bar {\psi }}D_{\mu }\psi }$ en el lagrangiano de la electrodinámica cuántica es por tanto invariante gauge.

Por otro lado, la derivada no covariante ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ no preservaría la simetría gauge del lagrangiano, ya que

${\displaystyle {\bar {\psi }}\partial _{\mu }\psi \mapsto {\bar {\psi }}\partial _{\mu }\psi +i{\bar {\psi }}(\partial _{\mu }\Lambda )\psi }$.

En cromodinámica cuántica, la derivada covariante gauge es[1]

${\displaystyle D_{\mu }:=\partial _{\mu }-ig\,A_{\mu }^{\alpha }\,\lambda _{\alpha }}$

donde ${\displaystyle g}$ es la constante de acoplamiento, ${\displaystyle A}$ es el campo gauge gluónico, para los ocho gluones diferentes ${\displaystyle \alpha =1\dots 8}$ , ${\displaystyle \psi }$ es un espinor de Dirac de cuatro componentes, y ${\displaystyle \lambda _{\alpha }}$ es una de las ocho matrices de Gell-Mann.

La derivada covariante en el Modelo Estándar puede ser expresada en la forma siguiente:[2]

${\displaystyle D_{\mu }:=\partial _{\mu }-i{\frac {g_{1}}{2}}\,Y\,B_{\mu }-i{\frac {g_{2}}{2}}\,\sigma _{j}\,W_{\mu }^{j}-i{\frac {g_{3}}{2}}\,\lambda _{\alpha }\,G_{\mu }^{\alpha }}$

donde ${\displaystyle Y}$ es la hipercarga, ${\displaystyle B_{\mu }}$ el bosón gauge del grupo ${\displaystyle U(1)_{Y}}$, ${\displaystyle \sigma _{j}}$ las matrices de Pauli, ${\displaystyle W_{\mu }^{j}}$ los bosones gauge del grupo quiral ${\displaystyle SU(2)_{L}}$ (véase modelo electrodébil), ${\displaystyle \lambda _{\alpha }}$ las matrices de Gell-Mann, ${\displaystyle G_{\mu }^{\alpha }}$ los gluones y ${\displaystyle g_{1}}$, ${\displaystyle g_{2}}$ y ${\displaystyle g_{3}}$ las correspondientes constantes de acoplamiento.