Teoría de campo de gauge

Para formular una teoría de campo gauge es necesario que la dinámica de los campos fermiónicos de la teoría venga descrita por un lagrangiano que tenga alguna simetría interna "local" dada por un grupo de Lie, llamado grupo de transformaciones de gauge. Así pues, al "rotar" algo en cierta región, no se determina cómo los objetos rotan en otras regiones (se usa el término "rotar" porque los grupos de gauge más frecuentes son SU(2) y SU(3) que son generalizaciones del grupo de rotaciones ordinarias). Físicamente una transformación de gauge es una transformación de algún grado de libertad que no modifica ninguna propiedad física observable. Las dos características formales que hacen de un campo un campo gauge son:

1. Los campos gauge aparecen en el lagrangiano que rige la dinámica del campo en forma de conexión, por tanto, matemáticamente están asociadas a 1-formas que toman valores sobre una cierta álgebra de Lie.
2. El campo de gauge puede ser visto como el resultado de aplicar a diferentes puntos del espacio diferentes transformaciones dentro del grupo de simetría asociado a los campos fermiónicos de la teoría.

Aunque en el modelo estándar todas las interacciones o fuerzas básicas exhiben algún tipo de simetría de gauge, esta simetría no es siempre obvia en los estados observados. A veces, especialmente cuando la temperatura disminuye, la simetría se rompe espontáneamente, es decir, ocurre el fenómeno conocido como ruptura espontánea de la simetría. Un ejemplo básico de la simetría rota que se da a menudo es una de estado sólido imán. Se compone de muchos átomos, cada uno de las cuales tiene un momento magnético dipolar. Sin embargo, las leyes del magnetismo son rotacionalmente simétricas, y es así que en las altas temperaturas, los átomos estarán alineados aleatoriamente, y la simetría rotatoria será restaurada. Semejantemente, se puede, con las condiciones apropiadas, enfriar agua bajo la temperatura de solidificación. Cuando un cristal de hielo se tira en el líquido, la simetría es rota y el agua solidifica inmediatamente.

Para dar cuenta de estos hechos de ruptura de la simetría, se ha propuesto el mecanismo de Higgs. Si en el lagrangiano de la interacción o "campo de fuerzas" concreto que está siendo estudiado se introducen cierto tipo de campos escalares que interactúan consigo mismo, en el límite de bajas energías los bosones gauge se comportan como si estuvieran dotados de masa; este efecto es precisamente el mecanismo de Higgs. En otras palabras el mecanismo de Higgs puede ser interpretado pensando que la interacción entre el campo escalar introducido o campo de Higgs y los bosones gauge, hace que estos "adquieran" masa, es decir, presenten interacciones como las que presentarían genuinas partículas con masa.

Técnicamente el campo de gauge asociado a una teoría gauge, aparece en el modelo matemático como una conexión sobre el fibrado principal anteriormente definido. Concretamente a partir las componentes de la 1-forma ${\displaystyle \mathbf {A} }$ que toma valores en el álgebra de Lie asociada al grupo de gauge, pueden calcularse el conjunto de componentes físicas que caracterizan el campo de gauge. Propiamente el campo de gauge es un campo de Yang-Mills obtenido a partir de la 2-forma ${\displaystyle \mathbf {F} }$ dada por:

${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +{\frac {1}{2}}\mathbf {A} \land \mathbf {A} }$

Donde d es la derivada exterior y ${\displaystyle \land }$ es producto exterior (o producto cuña).

Una transformación de gauge infinitesimal es similar a una transformación de gauge ordinaria, pero en la definición se substituye el grupo de gauge por su álgebra de Lie asociada:

${\displaystyle T_{\varepsilon }:{\mathcal {M}}\to {\mathfrak {g}}_{sym}}$

Donde:

${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, es espacio-tiempo, o variedad diferenciable, donde aparece el campo.

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{sym}}$, es el álgebra de Lie correspondiente al grupo de gauge ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{sym}}$. Esta definición puede extenderse a cualquier elemento sobre un fibrado tangente al espacio-tiempo, de tal modo que están definidas las transformaciones de gauge infinitesiamales de cualquier tipo de campo espinorial o tensorial.

Las transformaciones de gauge inifinitesimales definen el número de campos bosónicos de la teoría y la forma en que estos intereactúan. El conjunto de todas las transformaciones de gauge infinitesimales forman un álgebra de Lie, que se caracterizada por un escalar diferenciable a valores en un álgebra de Lie, ε. Bajo tal transformación de gauge infinitesimal:

${\displaystyle \mathbf {A} \mapsto \mathbf {A} +\delta _{\varepsilon }\mathbf {A} \qquad {\mbox{con}}\ \delta _{\varepsilon }\mathbf {A}$ :=[\varepsilon ,\mathbf {A} ]-d\varepsilon }

Donde [·,·] es el corchete de Lie. Estas tansformaciones infinitesimales tienen varias propiedades interesantes:

• Las transformaciones de gauge infinitesimales conmutan con la derivada covariante definida por la conexión: ${\displaystyle \scriptstyle \delta _{\varepsilon }X=\varepsilon X\ \rightarrow \quad \delta _{\varepsilon }(\mathbf {D} _{\alpha }X)=\varepsilon \mathbf {D} _{\alpha }X}$, donde ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {D} _{\alpha }=\partial _{\alpha }+\mathbf {A} _{\alpha }}$ es la derivada covariante.
• También, ${\displaystyle \scriptstyle \delta _{\varepsilon }\mathbf {F} =\varepsilon \mathbf {F} }$, que significa que ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {F} }$ se transforma covariantemente.
• No todas las transformaciones de gauge pueden ser generadas por transformaciones infinitesimales de gauge en general; por ejemplo, cuando la variedad de base es una variedad compacta sin borde tal que la clase de homotopía de funciones de esa variedad al grupo de Lie es no trivial, un ejemplo de ello son los instatones.

La integral de acción calculada a partir del lagrangiano del campo de Yang-Mills está dada por:

${\displaystyle S_{YM}=\int _{\mathcal {M}}{\mathcal {L}}_{YM}(\mathbf {F} (\mathbf {x} ),\mathbf {x} )\left({\sqrt {|g|}}dx^{1}\land ...\land dx^{n}\right)={\frac {1}{4g^{2}}}\int _{\mathcal {M}}Tr[*\mathbf {F} (\mathbf {x} )\wedge \mathbf {F} (\mathbf {x} )]\ d^{4}\mathbf {x} }$

Donde ${\displaystyle *\,}$ designa el operador dual de Hodge y la integral se define como la integral de un n-forma proporcional al elemento de volumen de la variedad de Riemann que define el espacio-tiempo. Donde el campo de gauge ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )}$ viene dado en términos del cuadripotencial del campo:

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )={\text{d}}\mathbf {A} (\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}\mathbf {A} (\mathbf {x} )\land \mathbf {A} (\mathbf {x} )}$

explícitamente en componentes ${\displaystyle \mathbf {F} ^{a}(\mathbf {x} )=F_{\mu \nu }^{a}\ {\text{d}}x^{\mu }\land {\text{d}}x^{\nu }}$:

${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+g\sum _{b,c}f^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}}$

Para una teoría de gauge que tome la forma de campo de Yang-Mills con grupo de gauge SU(N), existen ${\displaystyle N^{2}-1}$ cargas de gauge diferentes que interaccionan con las ${\displaystyle 6(N^{2}-1)}$ componentes del campo de gauge. En el caso electromagnético el grupo de gauge es U(1) y eso implica que únicamente existe una carga de gauge, que es, precisamente, la carga eléctrica. En el caso de la interacción electrodébil existen tres cargas de gauge, que están relacionadas con la carga eléctrica y la hipercarga débil.

Una cantidad que es invariante bajo transformaciones de gauge es el bucle de Wilson, que se define sobre cualquier trayectoria cerrada, γ, como sigue:

${\displaystyle \chi ^{(\rho )}({\mathcal {P}}\{e^{\int _{\gamma }A}\})}$

donde ρ es un carácter de una representación compleja; y ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ representa al operador de trayectoria ordenada. En las teorías de las interacciones electrodébil y fuerte del modelo estándar de la física de partículas, Lagrangianos de bosones, que medían interacciones entre los fermiones, son invariantes bajo transformaciones de gauge. Esta es la razón por la cual estos bosones se llaman bosones de gauge.

Ver Chern-Simons.

Las ecuaciones de movimiento de una partícula semiclásica puntual que interactúa con un cierto campo de Yang-Mills, vienen dadas por las ecuaciones de Wong:[1]

${\displaystyle m{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}=p^{\mu },\qquad {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=m{\frac {du^{\mu }}{d\tau }}=gQ^{a}F_{a}^{\mu \nu }u_{\nu }}$

donde ${\displaystyle x^{\mu }}$ son las componentes espacio-temporales, ${\displaystyle p^{\mu }}$ las componentes del cuadrimomento, ${\displaystyle u^{\mu }}$ las componentes de la cuadrivelocidad, ${\displaystyle g}$ la constante de acoplamiento, ${\displaystyle Q^{a}}$ las componentes de la carga de gauge (${\displaystyle a\in \{1,\dots ,N^{2}-1\}}$ para el grupo de gauge ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$) y ${\displaystyle F_{a}^{\mu \nu }}$ las componentes del campo de gauge:

${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}+gf_{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}}$

La propia carga de gauge evoluciona según la ecuación:

${\displaystyle {\frac {dQ^{a}}{d\tau }}=-gf^{abc}A_{b}^{\mu }u_{\mu }Q_{c}}$

Para el campo electromagnético el grupo de gauge es el grupo unitario ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ y, por tanto, ${\displaystyle a=1}$. La segunda ecuación de movimiento se reduce a la ecuación para la fuerza de Lorentz:

${\displaystyle F^{\mu }=m{\frac {du^{\mu }}{d\tau }}=qF^{\mu \nu }u_{\nu }\quad \Rightarrow \mathbf {F} =q(\mathbf {v} \times \mathbf {B} +\mathbf {E} )}$

Y la ecuación de la evolució de la carga al ser las constantes de estructura nulas ${\displaystyle f^{abc}=0}$ expresa la conseración de la carga eléctrica:

${\displaystyle {\frac {dq}{d\tau }}=0}$

El tensor energía-impulso del campo de gauge ${\displaystyle F_{a}^{\mu \nu }}$ viene dado por:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {g^{\mu \nu }}{4}}F_{a}^{\rho \sigma }F_{\rho \sigma }^{a}+{F_{\mu \rho }^{a}F_{\rho }^{\nu }}_{a}}$

En este caso la conservación de la energía admite una formulación en términos del tensor energía impulos que es una restricción semiclásica sobre como se distribuye el campo a lo largo del espacio tiempo:

${\displaystyle {\frac {\partial T^{\mu \nu }}{\partial x^{\nu }}}=0}$

Libros

• Bromley, D.A. (2000). Gauge Theory of Weak Interactions. Springer. ISBN 3-540-67672-4.
• Cheng, T.-P.; Li, L.-F. (1983). Gauge Theory of Elementary Particle Physics. Oxford University Press. ISBN 0-19-851961-3.
• Frampton, P. (2008). Gauge Field Theories (3rd edición). Wiley-VCH.
• Kane, G.L. (1987). Modern Elementary Particle Physics. Perseus Books. ISBN 0-201-11749-5.
• Schumm, Bruce (2004) Deep Down Things. Johns Hopkins University Press. Esp. chpt. 8. A serious attempt by a physicist to explain gauge theory and the Standard Model with little formal mathematics.

Artículos

• Becchi, C. (1997). Introduction to Gauge Theories. Bibcode:1997hep.ph....5211B. arXiv:hep-ph/9705211.
• Gross, D. (1992). «Gauge theory – Past, Present and Future». Archivado desde el original el 16 de marzo de 2009. Consultado el 23 de abril de 2009.
• Jackson, J.D. (2002). «From Lorenz to Coulomb and other explicit gauge transformations». Am.J.Phys 70: 917-928. Bibcode:2002AmJPh..70..917J. arXiv:physics/0204034. doi:10.1119/1.1491265.
• Svetlichny, George (1999). Preparation for Gauge Theory. Bibcode:1999math.ph...2027S. arXiv:math-ph/9902027.

• George Svetlichny