Isomorfismo musical

Una métrica g en una variedad Riemanniana M es un campo tensorial ${\displaystyle g\in {\mathcal {T}}_{2}(M)}$ que es simétrico, no degenerado y definido positivo. Al fijar uno de los dos parámetros como un vector ${\displaystyle v_{p}\in T_{p}M}$, se obtiene un isomorfismo de espacios vectoriales:

${\displaystyle {\hat {g}}_{p}:T_{p}M\longrightarrow T_{p}^{*}M}$

definido por:

${\displaystyle {\hat {g}}_{p}(v_{p})=g(v_{p},-)}$

es decir,

${\displaystyle \langle {\hat {g}}_{p}(v_{p}),\omega _{p}\rangle =g_{p}(v_{p},\omega _{p})}$

Globalmente,

${\displaystyle {\hat {g}}:TM\longrightarrow T^{*}M}$

es un difeomorfismo.

El isomorfismo ${\displaystyle {\hat {g}}}$ y su inversa ${\displaystyle {\hat {g}}^{-1}}$ se denominan isomorfismos musicales porque suben y bajan los índices de los vectores. Por ejemplo, un vector de TM se escribe como ${\displaystyle \alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ y un covector como ${\displaystyle \alpha _{i}dx^{i}}$, así que el índice i sube y baja en ${\displaystyle \alpha }$ del mismo modo que los símbolos sostenido (${\displaystyle \sharp }$) y bemol (${\displaystyle \flat }$) suben y bajan un semitono.

Los isomorfismos musicales se pueden usar para definir el gradiente de una función diferenciable sobre una variedad riemanniana M como:

${\displaystyle \nabla f=\mathrm {grad} \;f={\hat {g}}^{-1}\circ df=(df)^{\sharp }}$

• Ley de subir o bajar índices (tensores)