Isomorfismo musical
En matemáticas, el isomorfismo musical es un isomorfismo entre el fibrado tangente y el fibrado cotangente de una variedad riemanniana, que viene inducido por su métrica.
Introducción
Una métrica g en una variedad Riemanniana M es un campo tensorial que es simétrico, no degenerado y definido positivo. Al fijar uno de los dos parámetros como un vector , se obtiene un isomorfismo de espacios vectoriales:
definido por:
es decir,
Globalmente,
es un difeomorfismo.
Motivación para el nombre
El isomorfismo y su inversa se denominan isomorfismos musicales porque suben y bajan los índices de los vectores. Por ejemplo, un vector de TM se escribe como y un covector como , así que el índice i sube y baja en del mismo modo que los símbolos sostenido () y bemol () suben y bajan un semitono.
Gradiente
Los isomorfismos musicales se pueden usar para definir el gradiente de una función diferenciable sobre una variedad riemanniana M como: