Karl Schwarzschild

El problema de Kepler en relatividad general, usando la métrica de Schwarzschild

El propio Einstein se sorprendió gratamente al saber que sus ecuaciones de campo admitían soluciones exactas, debido a su complejidad prima facie, y porque él mismo solo había producido una solución aproximada. La solución aproximada de Einstein fue publicada en su famoso artículo de 1915 sobre el avance del perihelio de Mercurio. Allí, Einstein usó coordenadas rectangulares para aproximar el campo gravitatorio alrededor de una masa esféricamente simétrica, no giratoria y no cargada. Schwarzschild, por el contrario, eligió un sistema de coordenadas "más parecido a un sistema polar" más elegante y fue capaz de hallar una solución exacta que formuló por primera vez en una carta a Einstein del 22 de diciembre de 1915, escrita mientras Schwarzschild servía durante la Primera Guerra Mundial en el frente ruso. Schwarzschild concluyó la carta escribiendo: "Como ves, la guerra me trató con la amabilidad suficiente, a pesar de los fuertes disparos, para permitirme alejarme de todo y tomar este paseo en la tierra de tus ideas".[3] En 1916, Einstein escribió a Schwarzschild sobre este resultado:

He leído su artículo con el máximo interés. No esperaba que uno pudiera formular la solución exacta del problema de una manera tan simple. Me gustó mucho su tratamiento matemático del tema. El próximo jueves presentaré la obra a la Academia con algunas palabras de explicación.

Albert Einstein[4]

Región límite de la solución interior y exterior de Schwarzschild

El segundo trabajo de Schwarzschild, que formulaba lo que ahora se conoce como la "solución de Schwarzschild interior" (en alemán: innere Schwarzschild-Lösung), es válido dentro de una esfera de moléculas distribuidas homogéneamente e isotrópicas dentro de una superficie de radio r = R. Es aplicable a sólidos; fluidos incompresibles; el sol y las estrellas considerados como un gas caliente cuasi-isotrópico; y a cualquier gas distribuido homogéneamente e isotrópico.

La primera solución (simétrica esféricamente) de Schwarzschild no contiene una coordenada con una singularidad matemática en una superficie que ahora lleva su nombre. En coordenadas de Schwarzschild, esta singularidad se encuentra en la esfera de puntos con un radio particular, denominado el radio de Schwarzschild:

${\displaystyle R_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

donde G es la constante de gravitación universal, M es la masa del cuerpo central, y c es la velocidad de la luz en el vacío. En los casos en que el radio del cuerpo central es menor que el radio de Schwarzschild, ${\displaystyle R_{s}}$ representa el radio dentro del cual todos los cuerpos masivos, e incluso los fotones, inevitablemente caen en el cuerpo central (ignorando los efectos efecto túnel cerca del límite). Cuando la densidad de masa de este cuerpo central excede un límite particular, desencadena un colapso gravitatorio que, si se produce con simetría esférica, produce lo que se conoce como un agujero negro de Schwarzschild. Esto ocurre, por ejemplo, cuando la masa de una estrella de neutrones excede el Límite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (aproximadamente tres masas solares).