Límite de Banach

En análisis matemático, un límite de Banach es un funcional lineal continuo ${\displaystyle \phi$ :\ell _{\infty }\to \mathbb {R} } definido sobre el espacio de Banach ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ para toda sucesión acotada de números complejos tales que para sucesiones ${\displaystyle x=(x_{n})}$ y ${\displaystyle y=(y_{n})}$ cualesquiera, se cumplen las siguientes condiciones:

1. ${\displaystyle \phi (\alpha x+\beta y)=\alpha \phi (x)+\beta \phi (y)}$ (linealidad);
2. Si ${\displaystyle x_{n}\geq 0}$ para todo ${\displaystyle n\geq 1}$, entonces ${\displaystyle \phi (x)\geq 0}$;
3. ${\displaystyle \phi (x)=\phi (Sx)}$, donde ${\displaystyle S}$ es un operador escalera definido por ${\displaystyle (Sx)_{n}=x_{n+1}}$.
4. Si ${\displaystyle x}$ es una sucesión convergente, entonces ${\displaystyle \phi (x)=\lim x}$.

Por lo tanto, ${\displaystyle \phi }$ es una extensión del funcional continuo ${\displaystyle \lim x:c\mapsto \mathbb {C} .}$

En otras palabras, un límite de Banach extiende el límite usual, es invariante (al desplazamiento) y positivo. Sin embargo, existen sucesiones para las cuales los valores de dos límites de Banach no concuerdan. Se dice que el límite de Banach no es únicamente determinado en este caso.

La existencia de límites de Banach es comúnmente demostrada haciendo uso del teorema de Hahn–Banach (aproximación analítica) o haciendo uso de ultrafiltros (este aproximamiento es más frecuente en exposiciones conjuntistas). Vale la pena destacar que, esas demostraciones hacen uso del axioma de elección (luego son llamadas demostraciones no efectivas).