Análisis multifractal

Existen dos enfoques dentro del análisis multifractal:

• Las medidas multifractales, donde el carácter multifractal no se asocia a ningún conjunto concreto sino al comportamiento de una medida finita ${\displaystyle \scriptstyle \mu \,}$ definida sobre todo ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$. La medida es multifractal cuando el conjunto ${\displaystyle \scriptstyle E_{\alpha }}$ cuya dimensión fractal local es precisamente ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$, tiene una dimensión fractal diferente de la dimensión fractal local. Eso se usa cuando existe una medida natural que resulte natural para representar cierto proceso.
• Los conjuntos multifractales, donde se considera un conjunto fijo pero se considera una familia uniparamétrica de dimensiones fractales diferentes. En este enfoque, el conjunto se considera multifractal cuando las diferentes dimensiones fractales del conjunto difieren pero en conjunto forman una función continua llamada espectro multifractal. Este enfoque se debe a que, aunque dos conjuntos que bi-Lipschitz equivalentes tienen la dimensión fractal, no es cierto que dos conjuntos de la misma dimensión fractal sean bi-Lipschitz equivalentes. Por tanto, una dimensión fractal por sí misma no caracteriza por completo a un conjunto.[1]

Dado un sistema multifractal y una magnitud física ${\displaystyle \phi (\cdot )}$ medida sobre él tiene localmente un comportamiento cualitativo dado por una ley potencial de la forma:

${\displaystyle \phi (\mathbf {x} +\mathbf {a} )-\phi (\mathbf {x} )\sim \|\mathbf {a} \|^{h(\mathbf {x} )}}$

El exponente ${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$ se llama exponente de singularidad, ya que describe localmente el grado de singularidad o regularidad que presenta el comportamiento de la magnitud dada alrededor del punto ${\displaystyle \mathbf {x} }$. Es obvio, por ejemplo, que si ${\displaystyle h(\mathbf {x} )<1}$, entonces la magnitud presentará discontinuidades, ya que la derivada no existe por culpa de que el límite que la define no es finito.

El conjunto formado por todos los puntos que comparten el mismo exponente de singularidad se llama "variedad de singularidad de exponente h". La variedad de singularidad de exponente h es un conjunto fractal de dimensión D(h). La curva definida como el grafo de la función D(h), es lo que se llama espectro de singularidad y describe completamente la distribución (estadística) de la magnitud ${\displaystyle \phi (\cdot )}$.

En la práctica, sin embargo, el comportamiento de un sistema multifractal no se caracteriza directamente por su espectro de singularidad, sino más bien mediante los exponentes multiescala ${\displaystyle \zeta (q),\;q\in {\mathbb {R} }}$. Frecuentemente las magnitudes medibles de sistemas multifractales siguen una ley de invariancia de escala asociada a leyes potenciales asociadas a la escala ${\displaystyle a}$. Dependiendo del objeto de estudio, dichas magnitudes denotadas mediante ${\displaystyle T_{X}(a)}$ suelen ser promedios locales en cajas de una retícula de lado ${\displaystyle a}$ o variaciones espaciales a una distancia ${\displaystyle a}$, coeficientes de ondícula de escala ${\displaystyle a}$, etc. Para objetos multifractales, se observa una ley potencial global de escalado de la forma:

${\displaystyle <T_{X}(a)^{q}>\sim a^{\zeta (q)}\ }$

al menos en un rango de escalas relevante y para algunos rangos de orden ${\displaystyle q}$. Cuando un sistema presenta este comportamiento, se dice que presenta invariancia de escala, autosimilitud o multiescalaridad.