Lema de Fatou

Si ${\displaystyle (f_{n})}$ es una sucesión de funciones integrables no negativas para las cuales

${\displaystyle \liminf \int f_{n}d\mu <\infty ,}$

entonces la función ${\displaystyle f}$, definida por

${\displaystyle f(x)=\liminf f_{n}(x),}$

es integrable y

${\displaystyle \int fd\mu \leq \liminf \int f_{n}d\mu .}$

Sea ${\displaystyle g_{m}=\inf\{f_{m},f_{m+1},f_{m+2},\cdots \}}$ entonces ${\displaystyle g_{m}\leq f_{n}}$ si ${\displaystyle m\leq n}$. Así

${\displaystyle \int g_{m}d\mu \leq \int f_{n}d\mu ,\quad {\text{si}}\;m\leq n}$

entonces ${\displaystyle \int g_{m}d\mu \leq \liminf \int f_{n}d\mu }$. Como ${\displaystyle (g_{m})}$ es creciente y ${\displaystyle g_{m}\longrightarrow \liminf f_{n}}$, entonces, aplicando el teorema de convergencia monótona ${\displaystyle \int \liminf f_{n}d\mu =\int \liminf g_{m}d\mu =\lim \int g_{m}d\mu \leq \liminf \int f_{n}d\mu }$

Sea ${\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {R} \,}$ una sucesión de funciones medibles no negativas que converge casi-todas-partes a una función ${\displaystyle f\,}$, tal que:

${\displaystyle \int _{E}f_{n}\leq K\,}$

entonces,

${\displaystyle \int _{E}f\leq K\,}$

• Halmos, Richard R. (1950). Measure Theory (1 edición).

• Royden, Halsey L. (2010). Real Analysis (4 edición).