Libro de los Lemas

El Libro de los Lemas presenta varias figuras geométricas nuevas:

Arbelos

El arbelos es la región sombreada en color gris

Arquímedes presentó por primera vez el arbelos en la proposición cuatro de su libro:

Si AB es el diámetro de un semicírculo y N cualquier punto en AB, y si los semicírculos se describen dentro del primer semicírculo y tienen AN y BN como diámetros respectivamente, la figura incluida entre las circunferencias de los tres semicírculos es lo "que Arquímedes llamado αρβηλος"; y su área es igual al círculo con PN como diámetro, donde PN es perpendicular a AB y se encuentra con el semicírculo original en P.[1]

La figura se usa en las proposiciones cuatro a ocho. En la proposición cinco, Arquímedes presenta los círculos gemelos de Arquímedes, y en la proposición ocho, utiliza lo que sería la cadena de Papo, introducida formalmente por Papo de Alejandría.

Salinon

El salinon es la región sombreada en color azul

Arquímedes presentó por primera vez el salinon en la proposición catorce de su libro:

Sea ACB un semicírculo con AB como diámetro, de manera que AD, BE tengan la misma longitud medida a lo largo de AB desde A y B, respectivamente. Con AD y BE como diámetros, trazar los semicírculos en el lado hacia C, y con DE como diámetro, un semicírculo en el lado opuesto. Ahora, trazar la perpendicular a AB a través de O, el centro del primer semicírculo, para que se encuentre con los semicírculos opuestos en C y F respectivamente. Entonces, el área de la figura delimitada por las circunferencias de todos los semicírculos será igual al área del círculo con CF como diámetro.[1]

Arquímedes demostró que es posible construir un círculo con igual área que un salinón.

La demostración completa de estas quince proposiciones se puede encontrar en una publicación de la Real Sociedad Matemática Española en el enlace siguiente: "El Libro de los Lemas":[6]

1. Si dos círculos se tocan en A, y si CD, EF son diámetros paralelos, ADF es una línea recta.
2. Sea AB el diámetro de un semicírculo, y las tangentes a él en B y en cualquier otro punto D se encuentren en T. Si ahora DE se dibuja perpendicular a AB; y si AT y DE se encuentran en F, entonces DF=FE.
3. Sea P cualquier punto en un segmento de un círculo cuya base es AB, y sea PN perpendicular a AB. Tómese D en AB para que AN=ND. Si ahora PQ es un arco igual al arco PA, y se une BQ, entonces BQ y BD serán iguales.
4. Si AB es el diámetro de un semicírculo y N cualquier punto en AB, y si los semicírculos se describen dentro del primer semicírculo y tienen AN y BN como diámetros respectivamente, la cifra incluida entre las circunferencias de los tres semicírculos es "lo que Arquímedes llamó αρβηλος" (salinón); y su área es igual al círculo con PN como diámetro, donde PN es perpendicular a AB y se encuentra con el semicírculo original en P.
5. Sea AB el diámetro de un semicírculo, C cualquier punto en AB y CD perpendicular a él, y sean los semicírculos dentro del primer semicírculo con AC y CB como diámetros. Luego, si se dibujan dos círculos tocando CD en lados diferentes y cada uno toca dos semicírculos, los círculos así dibujados serán iguales.
6. Sea AB el diámetro de un semicírculo, y se divide en C para que AC=3/2×CB [o en cualquier proporción]. Trácense los semicírculos dentro del primer semicírculo y en AC y CB como diámetros, y supóngase un círculo dibujado tocando los tres semicírculos. Si GH es el diámetro de este círculo, permite encontrar la relación entre GH y AB.
7. Si los círculos están circunscritos e inscritos en un cuadrado, el círculo circunscrito tiene el doble de área que el inscrito.
8. Si AB es cualquier cuerda de un círculo cuyo centro es O, y si AB se tiende a C para que BC sea igual al radio; si además CO se encuentra con el círculo en D y se ajusta para tocarse con el círculo la segunda vez en E, el arco AE será igual a tres veces el arco BD.
9. Si en un círculo dos cuerdas AB, CD que no pasan por el centro se cruzan en ángulo recto, entonces (arco AD)+(arco CB)=(arco de CA)+(arco DB).
10. Supóngase que TA, TB son dos tangentes a un círculo, mientras que TC lo corta. Sea BD la cuerda a través de B paralelo a TC, y AD se encuentre con TC en E. Entonces, si EH se dibuja perpendicular a BD, se bisecará en H.
11. Si dos cuerdas AB, CD en un círculo se cruzan en ángulo recto en un punto O, no siendo el centro, entonces AO²+BO²+CO²+DO²=(diámetro)².
12. Si AB es el diámetro de un semicírculo, y TP, TQ las tangentes a él desde cualquier punto T, y si AQ, BP se unen reuniéndose en R, entonces TR es perpendicular a AB.
13. Si un diámetro AB de un círculo cumple con cualquier cuerda CD, no un diámetro, en E, y si AM, BN se dibuja perpendicular a CD, entonces CN=DM.
14. Sea ACB un semicírculo en AB como diámetro, teniendo AD, BE la misma longitud medida a lo largo de AB desde A, B, respectivamente. Con AD, BE como diámetros, trazar semicírculos en el lado hacia C, y con DE como diámetro, un semicírculo en el lado opuesto. Sea la perpendicular a AB a través de O, el centro del primer semicírculo, que se encuentra con los semicírculos opuestos en C y F respectivamente. Entonces, el área de la figura delimitada por las circunferencias de todos los semicírculos será igual al área del círculo con CF como diámetro.
15. Sea AB el diámetro de un círculo, AC un lado de un pentágono regular inscrito, D el punto medio del arco AC. Únase CD y generar BA generado en E; cortar AC y DB en F y dibujar FM perpendicular a AB. Entonces EM = (radio del círculo).[1]

• "Liber assumptorum" (Guirnalda matemática); completa información sobre la historia del libro