Modelo input-output

Las filas de la tabla representan la distribución (por sectores) de un productor, mientras que las columnas representan los consumos (por sectores) de las industrias para poder producir sus bienes. Esta tabla intersectorial suele tener una columna adicional denominada demanda final y corresponde a los bienes empleados en el consumo, inversión (públicos o privados) o para la exportación. En ciertas ocasiones se añade a la matriz otras filas que representan el valor añadido que tiene en cuenta otros inputs no industriales a la producción, como puede ser el trabajo.

La estructura matemática de un sistema input-output es la de un sistema de ecuaciones lineales de incógnitas y ecuaciones, donde ${\displaystyle n}$ es el número de sectores de la industria. Esta aproximación hace que el modelo input-output pueda tratarse con el formalismo del álgebra lineal, al poder representarse con matrices. Si se cuantifica el valor monetario de un sector ${\displaystyle i}$ a uno ${\displaystyle j}$ como ${\displaystyle z_{ij}}$ y, de la misma forma, la demanda final de un sector (es decir, los bienes producidos que no entran de nuevo en el sistema productivo) como ${\displaystyle Y_{i}}$, se tiene entonces que la producción del sector ${\displaystyle i}$ (representado por ${\displaystyle X_{i}}$) sería igual, en un formalismo algebraico, a:

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{i}&=&z_{i1}+z_{i2}+z_{i3}+...+z_{in}+Y_{i}\end{matrix}}}$

Los términos a la derecha de la ecuación representan las ventas interindustria del sector ${\displaystyle i}$, por lo tanto la suma de todos los términos es el total de ventas del sector ${\displaystyle i}$ y las ventas a la demanda final. Esta ecuación puede entenderse como la distribución de ventas del sector ${\displaystyle i}$, como la distribución de salidas (outputs de este sector). Si consideramos el ejemplo de una economía de tres sectores productivos el modelo podría reproducirse como sigue:

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{1}&=&z_{11}+z_{12}+z_{13}+Y_{1}\\X_{2}&=&z_{21}+z_{22}+z_{23}+Y_{2}\\X_{3}&=&z_{31}+z_{32}+z_{33}+Y_{3}\\X_{4}&=&z_{41}+z_{42}+z_{43}+Y_{4}\end{matrix}}}$

En esta representación tenemos agrupadas en cada línea las salidas de cada sector (${\displaystyle X_{i}}$). Los flujos (${\displaystyle z_{ij}}$) pueden ser recolectados en una tabla en la que los sectores verticales son "vendedores" y los horizontales "compradores". Un ejemplo de tabla input-output es:

En este ejemplo, se considera que la demanda final se dedica exclusivamente al pago de los trabajadores, pero en una tabla input-output pueden añadirse igualmente los consumos caseros, las ventas (exportaciones) o inversiones de capital, los salarios, etcétera. En el modelo input-output a veces se consideran estas demandas finales, haciendo que la matriz sea considerablemente mayor que la correspondiente a las relaciones interindustriales.

La función de producción de una industria (que especifica la salida en función de las entradas) en el caso del modelo de Leontief las isocuantas (curvas de constante producción) corresponden a líneas rectas debido a la linearidad del proceso. Empleando los denominados coeficientes de Leontief, es decir: ${\displaystyle a_{ij}}$, se puede manipular la matriz de transacciones como:

${\displaystyle {\begin{matrix}z_{ij}&=&a_{ij}X_{j}\end{matrix}}}$

Lo que convierte a la ecuación en:

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{1}&=&a_{11}X_{1}+a_{12}X_{2}+\cdots +a_{1i}X_{i}+\cdots +a_{1n}X_{n}+Y_{1}\\X_{2}&=&a_{21}X_{1}+a_{22}X_{2}+\cdots +a_{2i}X_{i}+\cdots +a_{2n}X_{n}+Y_{2}\\X_{3}&=&a_{31}X_{1}+a_{32}X_{2}+\cdots +a_{3i}X_{i}+\cdots +a_{3n}X_{n}+Y_{3}\\\vdots &=&\vdots \\X_{n}&=&a_{n1}X_{1}+a_{n2}X_{2}+\cdots +a_{ni}X_{i}+\cdots +a_{nn}X_{n}+Y_{n}\end{matrix}}}$

O en notación matricial equivalente, la misma operación es:

${\displaystyle {\begin{matrix}AX+Y&=&X\\(I-A)X&=&Y\\X&=&(I-A)^{-1}Y\end{matrix}}}$

Donde la matriz resultante de la operación ${\displaystyle (I-A)^{-1}}$ se denomina matriz inversa de Leontief.