Universo de Gödel

La métrica anterior puede escribirse como suma directa de una métrica que actúa sobre la subvariedad definida por (t, x, y) y otra métrica que actúa sobre las subvariedades unidimensionales dadas asociadas a la variación de z, es decir:

${\displaystyle (\mathbb {R} ^{4},g)=(\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ,g_{1}\oplus g_{2})}$

Para describir las propiedades de este espacio tiempo basta con restringirse a la subvariedad tridimensional que se obtiene suprimiendo la coordenada z. Para examinar las propiedades del espacio-tiempo frecuentemente se usan las coordenadas (T, R, φ, Z) relacionadas con las pseudocartesianas mediante las relaciones:

${\displaystyle {\begin{cases}e^{{\sqrt {2}}\omega x}={\mbox{cosh}}\ 2R+\cos \varphi \ {\mbox{sinh}}\ 2R\\\omega ye^{{\sqrt {2}}\omega x}=\sin \varphi \ {\mbox{sinh}}\ 2R&Z=z\\\tan {\frac {1}{2}}(\varphi +\omega t-{\sqrt {2}}T)=e^{-2R}\tan {\frac {1}{2}}\varphi \end{cases}}}$

En estas nuevas coordenadas la métrica, ignorando la parte en Z toma la forma:

(2)${\displaystyle g=2\omega ^{-2}\left[-dt\otimes dt+dR\otimes dR-({\mbox{sinh}}^{4}(R)-{\mbox{sinh}}^{2}\ R)d\varphi \otimes d\varphi +2{\sqrt {2}}{\mbox{sinh}}^{2}(R)d\varphi \otimes dT\right]}$

El universo de Gödel es una solución de las ecuaciones de Einstein con constante cosmológica repleto de materia pulverulenta, es decir, sin presión p = 0. El tensor gravitacional de Einstein G_ij viene dado por:

${\displaystyle G_{ik}=R_{ik}-{\frac {1}{2}}g_{ik}R\mapsto [G_{ik}]=-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}-1&0&e^{{\sqrt {2}}\omega x}&0\\0&-1&0&0\\e^{{\sqrt {2}}\omega x}&0&-{\frac {3}{2}}e^{2{\sqrt {2}}\omega x}&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}}$

Es sencillo ver que si se toma un valor de la constante cosmológica que cumpla:

${\displaystyle -\Lambda ={\frac {4\pi G\rho }{c^{2}}}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}>0\;}$

Entonces el tensor de energía-impulso viene dado en las coordenadas (t, x, y, z):

${\displaystyle (T_{ik})={\frac {c^{2}}{8\pi G}}\left(R_{ik}-{\frac {1}{2}}g_{ik}R+\Lambda g_{ik}\right)={\begin{bmatrix}\rho &0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Si ${\displaystyle \gamma (\tau )=(t(\tau ),x(\tau ),y(\tau ),z(\tau ))\;}$ es la expresión de una curva usando el sistema de referencia asociado a las coordenadas de (1) y del tiempo propio entonces esa curva será geodésica si se cumple que:

${\displaystyle {\begin{cases}{\ddot {t}}+2{\sqrt {2}}\omega {\dot {t}}{\dot {x}}-{\sqrt {2}}\omega e^{{\sqrt {2}}\omega x}{\dot {x}}{\dot {y}}=0\\{\ddot {x}}-{\sqrt {2}}\omega {\dot {t}}{\dot {x}}+{\cfrac {{\sqrt {2}}\omega }{2}}e^{2{\sqrt {2}}\omega x}{\dot {y}}^{2}=0\\{\ddot {y}}+2{\sqrt {2}}\omega e^{{\sqrt {2}}\omega x}{\dot {t}}{\dot {x}}=0\\{\ddot {z}}=0\end{cases}}}$

De las potencialmente 55 componentes independientes del tensor de Riemann, en las mismas coordenadas usadas en la métrica (1), el tensor de Riemann se puede escribir a partir de sólo cuatro componentes diferentes de cero:

${\displaystyle {\begin{matrix}R_{0112}=\omega ^{2}e^{{\sqrt {2}}\omega x}&&R_{1212}={\frac {3}{2}}\omega ^{2}e^{2{\sqrt {2}}\omega x}\\R_{0101}=\omega ^{2}\qquad &&R_{0202}={\frac {1}{2}}\omega ^{2}e^{2{\sqrt {2}}\omega x}\end{matrix}}}$

El universo de Gödel tiene un grupo de isometría de dimensión 5, cuya acción de grupo opera transitivamente sobre toda la variedad, y por tanto, el universo de Gödel es un espacio-tiempo completamente homogéneo. El grupo de isometría consta de un subgrupo tridimensional de traslaciones:

${\displaystyle (t,x,y,z)\mapsto (t+a,\ x,\ y+c,\ z+d)}$

Los otros subgrupos pueden representarse respectivamente en las coordenadas (t, x, y, z) y (T, R, φ, Z):

${\displaystyle {\begin{cases}(t,x,y,z)\mapsto (t,\ x+b,\ ye^{-b\omega {\sqrt {2}}},\ z)\\(T,R,\varphi ,Z)\mapsto (T,\ R,\ \varphi +e,\ Z)\end{cases}}}$

Una isometría general del universo de Gödel puede obtenerse combinando un número arbitrario de las anteriores transformaciones.

Una propiedad matemáticamente interesante del universo de Gödel, es que alrededor de todo punto existen curvas temporales cerradas, tales que la cualidad de lo observable hace físicamente posible formularlo hacia el futuro y llegar a un punto de su pasado, repitiendo cíclicamente este movimiento. Esta propiedad sugiere que esta solución es físicamente poco realista o imposible. Lo sorprendente de la solución de Gödel es que a pesar de esta extraña propiedad el universo está formado por materia convencional no exótica y que si fuera posible dotar a esta del movimiento de vorticidad que implica la ecuación tendríamos un universo con esta extraña propiedad causal.

De la forma del tensor métrico (1) se desprende que el vector ${\displaystyle \partial _{\phi }}$, que es de tipo espacial para valores de R pequeños pasa a ser de tipo luminoso para ${\displaystyle \scriptstyle R\ \approx 0,881373587...}$ (es decir cuando ${\displaystyle \scriptstyle \sinh(R)\ =\ 1}$). Y en ese caso el covector ${\displaystyle \scriptstyle dt}$ también es de tipo luz (tangente al cono de luz). El círculo con ${\displaystyle \scriptstyle \sinh(R)\ =\ 1}$ es una curva luminosa cerrada, aunque no sea una curva geodésica.

Examinando el sistema de referencia anterior, puede verse que la coordenada ${\displaystyle z}$ puede omitirse; el espacio-tiempo de Gödel es el producto de un factor ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ con una variedad pseudoriemanniana tridimensional de signatura -++. Dejando a un lago la coordenada ${\displaystyle z}$, lo cual equivale a proyectar sobre la variedad tridimensional, la apariencia de los conos de luz cambia a medida que nos separamos del eje de simetría ${\displaystyle \scriptstyle R\ =\ 0}$ tal como muestra la siguiente figura:

Dos conos de luz (con sus correspondientes vectores de referencia) en una carta local cilíndrica para la un universo de Gödel formado por material pulvurulenta y con constante cosmológica. A medida que un observador se desplaza desde el eje de simetría central, los conos se "inclinan hacia adelante" y se "ensanchan". Nótese que las líneas coordenadas verticales (que representan líneas de universo de las partículas de materia pulvurulenta) siempre son de tipo temporal.

A medida que se consideran curvas más cercanas al radio del círculo mencionado anteriormente, los conos llegan a ser tangentes al plano coordenado ${\displaystyle \scriptstyle t=0}$ y también son tangentes a la curva cerrada de tipo luminoso:

Una curva cerrada de tipo luminoso en un universo de Gödel de materia pulvurulenta.