Medias pitagóricas

En matemáticas, las tres clásicas medidas pitagóricas son la media aritmética (AM), la media geométrica (GM), y la media armónica (HM). Se definen por:

${\displaystyle AM(\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\,)={\frac {1}{n}}\,(\,x_{1}+\,\cdots \,+x_{n}\,)}$

Una construcción geométrica de la media cuadrática y las medias de Pitágoras (de dos números a y b). Media armónica denotado por H, geométrico por G, Aritmética por A y media cuadrática denotada por Q.

La comparación de las medias aritméticas, geométricas y armónicas de un par de números. Las líneas de trazos verticales son asíntotas para los medios armónicos.

${\displaystyle GM(\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\,)={\sqrt[{n}]{\,\left\vert \,x_{1}\,{}_{{}^{\times }}\,\cdots \,{}_{{}^{\times }}\,x_{n}\,\right\vert \,}}}$

${\displaystyle HM(\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\,)={\frac {n}{\displaystyle \ {\frac {1}{x_{1}}}+\,\cdots \,+{\frac {1}{x_{n}}}\ }}}$

Cada medio tiene las siguientes propiedades:

Preservación de valor: ${\displaystyle M(x,x,\ldots ,x)=x}$

Homogeneidad de primer orden: ${\displaystyle M(bx_{1},\ldots ,bx_{n})=bM(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Invariancia bajo intercambio: ${\displaystyle M(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=M(\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )}$ para cualquier ${\displaystyle i}$ y ${\displaystyle j}$.

Promedio: ${\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq M(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\ldots ,x_{n})}$.

Estos medios se estudiaron con proporciones en pitagóricos y posteriores generaciones de matemáticos griegos[1] debido a su importancia en la geometría y la música. Los medios armónicos y aritméticas son duales recíprocas de uno al otro para argumentos positivos (${\displaystyle HM(1/x_{1}\ldots 1/x_{n})=1/AM(x_{1}\ldots x_{n})}$). Mientras que la media geométrica es su propio dual recíproco.