Dipolo eléctrico

(a) Un dipolo eléctrico en un campo externo uniforme. (b) Una vista en perspectiva para visualizar el momento producido.

Campo eléctrico debido a un dipolo.

Si se coloca un dipolo en un campo eléctrico (${\displaystyle \scriptstyle {\vec {E}}}$) uniforme, ambas cargas (+Q y -Q), separadas una distancia 2a, experimentan fuerzas de igual magnitud y de sentido contrario ${\displaystyle (\scriptstyle {\vec {F}}}$ y ${\displaystyle \scriptstyle -{\vec {F}})}$, en consecuencia, la fuerza neta es cero y no hay aceleración lineal (ver figura (a)) pero hay un torque neto respecto al eje que pasa por O cuya magnitud está dada por:

${\displaystyle \tau =2F(a\sin \theta )=2aF\sin \theta \,\!}$

Teniendo en cuenta que ${\displaystyle F=qE\,\!}$ y ${\displaystyle p=(2a)(q)\,}$, se obtiene:

${\displaystyle \tau =2aqE\sin \theta =pE\sin \theta \,}$

Así, un dipolo eléctrico sumergido en un campo eléctrico externo ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {E}}}$, experimenta un torque que tiende a alinearlo con el campo:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\vec {p}}\times {\vec {E}}}$

Los vectores respectivos se muestran en la figura (b).

Se define el momento dipolar eléctrico ${\displaystyle \scriptstyle ({\vec {p}})}$ como una magnitud vectorial con módulo igual al producto de las cargas q por la distancia que las separa d, cuya dirección va de la carga negativa a la positiva:

${\displaystyle {\vec {p}}=q\cdot {\vec {d}}}$

Para valores suficientemente bajos del módulo del campo eléctrico externo, puede probarse que el momento dipolar es aproximadamente proporcional a aquel. En efecto:

${\displaystyle {\vec {p}}=\alpha {\vec {E}}}$

Siendo ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$ la polarizabilidad electrónica.

Debe hacerse trabajo (positivo o negativo) mediante un agente externo para cambiar la orientación del dipolo en el campo. Este trabajo queda almacenado como energía potencial U en el sistema formado por el dipolo y el dispositivo utilizado para establecer el campo externo.

Si ${\displaystyle \theta \,\!}$ en la figura (a) tiene el valor inicial ${\displaystyle {\theta }_{0}\,\!}$, el trabajo requerido para hacer girar el dipolo, está dado por:

${\displaystyle W=\int dW=\int _{{\theta }_{0}}^{\theta }\tau d\theta =U}$

Teniendo en cuenta la igualdad (1):

${\displaystyle U=\int _{{\theta }_{0}}^{\theta }pE\sin \theta d\theta =pE\int _{{\theta }_{0}}^{\theta }\sin \theta d\theta =-pE[\cos \theta -\cos {\theta }_{0}]}$

Como solo interesan los cambios de energía potencial, se escoge la orientación de referencia ${\displaystyle {\theta }_{0}\,\!}$ de un valor conveniente, en este caso 90°. Así se obtiene:

${\displaystyle U=-pE\cos \theta \,\!}$

lo cual se puede expresar en forma vectorial:

${\displaystyle U=-{\vec {p}}\cdot {\vec {E}}}$

Dos cargas puntuales iguales q y de signo contrario, separadas una distancia ${\displaystyle \scriptstyle 2d_{p}}$ (colocada a lo largo del eje X) tienen un campo eléctrico dado por:

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q\mathbf {r} _{+}}{r_{+}^{3}}}-{\frac {q\mathbf {r} _{-}}{r_{-}^{3}}}\right)}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q[(d\cos \theta -d_{p}){\hat {\mathbf {e} }}_{x}+(d\sin \theta ){\hat {\mathbf {e} }}_{y}]}{[(d\cos \theta -d_{p})^{2}+(d\sin \theta )^{2}]^{3/2}}}-{\frac {q[(d\cos \theta +d_{p}){\hat {\mathbf {e} }}_{x}+(d\sin \theta ){\hat {\mathbf {e} }}_{y}]}{[(d\cos \theta -d_{p})^{2}+(d\sin \theta )^{2}]^{3/2}}}\right)}$

donde:

${\displaystyle \theta =\mathbf {p} \cdot {\hat {r}}}$ es el ángulo formado por el vector de posición de un punto dentro del campo y el momento dipolar del par de cargas.

${\displaystyle d\,}$ es la distancia al centro del dipolo.

Desarrollando la expresión anterior en desarrollo en serie de Taylor hasta primer orden se obtiene:

${\displaystyle \mathbf {E} _{dip}\approx {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {-2qd_{p}}{[d^{2}+d_{p}^{2}]^{3/2}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+{\frac {6qd^{2}d_{p}\cos(\theta )}{[d^{2}+d_{p}^{2}]^{5/2}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}\right)}$

Ignorando ${\displaystyle \scriptstyle d_{p}}$ frente a ${\displaystyle \scriptstyle d}$, teniendo en cuenta que ${\displaystyle \scriptstyle |\mathbf {p} |=2qd_{p}}$ y que ${\displaystyle \scriptstyle \cos \theta =\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}}$ y escribiendo rotando a ejes generales se tiene:

${\displaystyle \mathbf {E} _{dip}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {-\mathbf {p} }{d^{3}}}+{\frac {3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}}{d^{3}}}\right)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} }{d^{3}}}\right)}$

Si en lugar de disponer de un único dipolo disponemos de una cierta distribución dipolar de carga hemos de introducir una nueva característica del medio definida como el momento dipolar por unidad de volumen.

${\displaystyle {\vec {P}}={\frac {d{\vec {p}}}{d\tau }}}$

Esta densidad dipolar "genera" unas densidades de carga que crean un campo equivalente a las cargas libres. Se genera una densidad de carga volumétrica en toda la distribución y una carga superficial en la frontera que separa el material del exterior. Vienen dadas por las siguientes expresiones.

${\displaystyle \rho _{l}=-\nabla \cdot {\vec {P}}}$

${\displaystyle \sigma _{l}={\vec {P}}\cdot {\hat {n}}}$

Demostración

La demostración del teorema es la siguiente:

Demostración

Sabiendo que el potencial creado por un dipolo eléctrico viene dado por ${\displaystyle V=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {{\vec {p}}\cdot {\hat {r}}}{r^{2}}}}$ Tenemos que el potencial creado es por tanto: ${\displaystyle V=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\tau }{\frac {{\vec {P}}\cdot {\hat {r}}}{r^{2}}}d\tau }$ Conociendo las identidades vectoriales: ${\displaystyle -\nabla \cdot {\frac {1}{r}}={\frac {\hat {r}}{r^{2}}}}$ y ${\displaystyle -{\vec {P}}\cdot \nabla \cdot {\frac {1}{r}}=\nabla \cdot ({\vec {P}}\cdot {\frac {1}{r}})-\nabla \cdot {\vec {P}}{\frac {1}{r}}}$ Tenemos que: ${\displaystyle V={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\tau }(\nabla \cdot ({\vec {P}}\cdot {\frac {1}{r}})-(\nabla \cdot {\vec {P}})\cdot {\frac {1}{r}})d\tau }$ Finalmente aplicando el teorema de Gauss al primer miembro: ${\displaystyle V={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\delta \tau }{\frac {\vec {P}}{r}}d{\vec {S}}-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\tau }{\frac {\nabla \cdot {\vec {P}}}{r}}d\tau }$ O en términos de las densidades ligadas de carga: ${\displaystyle V={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\delta \tau }{\frac {\sigma _{l}}{r}}dS+{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\tau }{\frac {\rho _{l}}{r}}d\tau }$

• Polarización eléctrica
• Interacción dipolo-dipolo
• Fuerzas de Van der Waals
• Polaridad (química)

• Wikilibros alberga un libro o manual sobre Campo eléctrico generado por una distribución discreta de cargas.
• An interactive JAVA applet displaying the behavior of two-dimensional dipoles.
• USGS Geomagnetism Program.
• Fields of Force: a chapter from an online textbook. Archivado el 14 de diciembre de 2010 en Wayback Machine.
• Electric Dipole Potential by Stephen Wolfram and Energy Density of a Magnetic Dipole by Franz Krafft. Wolfram Demonstrations Project.
• The inverse cube law. The inverse cube law for dipoles (PDF file) by Eng. Xavier Borg.