Movimiento rotativo

Una partícula se mueve en un círculo de radio ${\displaystyle r}$. Cuando ha recorrido una longitud de arco ${\displaystyle s}$, su posición angular es ${\displaystyle \theta }$ en relación con su posición original, donde ${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}}$.

En matemáticas y física, es habitual utilizar la unidad natural radianes en lugar de grados o revoluciones. Las unidades se convierten de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}1{\text{ revolución }}&=360^{\circ }=2\pi {\text{ radianes, y}}\\1{\text{ rad}}&={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.27^{\circ }.\end{aligned}}}$

Un desplazamiento angular es un cambio en la posición angular:

${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{1},\!}$

donde ${\displaystyle \Delta \theta }$ es el desplazamiento angular, ${\displaystyle \theta _{1}}$ es la posición angular inicial y ${\displaystyle \theta _{2}}$ es la posición angular final.

El cambio en el desplazamiento angular por unidad de tiempo se denomina velocidad angular, con dirección en el eje de rotación. El símbolo de velocidad angular es ${\displaystyle \omega }$ y las unidades son típicamente rad s⁻¹. La celeridad angular es la magnitud de la velocidad angular.

${\displaystyle {\overline {\omega }}={\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}={\frac {\theta _{2}-\theta _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.}$

La velocidad angular instantánea viene dada por

${\displaystyle \omega (t)={\frac {d\theta }{dt}}.}$

Usando la fórmula para la posición angular y dejando ${\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}}$, entonces se tiene

${\displaystyle \omega ={\frac {d\theta }{dt}}={\frac {v}{r}},}$

donde ${\displaystyle v}$ es la velocidad de traslación de la partícula.

La velocidad angular y la frecuencia están relacionadas por

${\displaystyle \omega ={2\pi f}\!}$.

Una velocidad angular cambiante indica la presencia de una aceleración angular en el cuerpo rígido, típicamente medida en rad s⁻². La aceleración angular promedio ${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$ durante un intervalo de tiempo Δt viene dada por

${\displaystyle {\overline {\alpha }}={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.}$

La aceleración instantánea α(t) viene dada por

${\displaystyle \alpha (t)={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}.}$

Por lo tanto, la aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular, así como la aceleración es la tasa de cambio de velocidad.

La aceleración traslacional de un punto en el objeto que gira está dada por

${\displaystyle a=r\alpha ,\!}$

donde r es el radio o la distancia desde el eje de rotación. Esta también es la componente tangencial de la aceleración: es tangencial a la dirección de movimiento del punto. Si este componente es 0, se trata de un movimiento circular y la velocidad solo cambia de dirección.

La aceleración radial o normal (perpendicular a la dirección del movimiento) viene dada por

${\displaystyle a_{\mathrm {R} }={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r\!}$.

Se dirige hacia el centro del movimiento de rotación, y a menudo se le llama la "aceleración centrípeta".

La aceleración angular es causada por el par motor, que puede tener un valor positivo o negativo de acuerdo con la convención de frecuencia angular positiva y negativa. El momento de inercia ${\displaystyle T=I\alpha }$ da la relación entre el par aplicado y la aceleración angular producida (es decir, indica lo que cuesta comenzar, detener o cambiar la rotación del sólido rígido en cuestión).

Cuando la aceleración angular es constante, las cinco cantidades de desplazamiento angular ${\displaystyle \theta }$, la velocidad angular inicial ${\displaystyle \omega _{i}}$, la velocidad angular final ${\displaystyle \omega _{f}}$, la aceleración angular ${\displaystyle \alpha }$ y el tiempo ${\displaystyle t}$ pueden relacionarse por cuatro ecuaciones cinemáticas:

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{f}&=\omega _{i}+\alpha t\\\theta &=\omega _{i}t+{\frac {1}{2}}\alpha t^{2}\\\omega _{f}^{2}&=\omega _{i}^{2}+2\alpha \theta \\\theta &={\frac {1}{2}}\left(\omega _{f}+\omega _{i}\right)t\end{aligned}}}$

El momento de inercia de un objeto, simbolizado por I, es una medida de la resistencia del objeto a los cambios en su rotación. El momento de inercia se mide en kilogramos metros² (kg m²). Depende de la masa del objeto: aumentar la masa de un objeto aumenta el momento de inercia. También depende de la distribución de la masa: distribuir la masa más lejos del centro de rotación aumenta el momento de inercia en un mayor grado. Para una sola partícula de masa ${\displaystyle m}$ a una distancia ${\displaystyle r}$ del eje de rotación, el momento de inercia viene dado por

${\displaystyle I=mr^{2}.}$

El par ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ es el efecto de torsión de una fuerza F aplicada a un objeto giratorio que se encuentra en la posición r desde su eje de rotación. Matemáticamente,

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,}$

donde × denota el producto vectorial. Un par neto que actúa sobre un objeto producirá una aceleración angular del objeto de acuerdo con

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }},}$

tal como F = ma en dinámica lineal.

El trabajo realizado por un par que actúa sobre un objeto es igual a la magnitud del par por el ángulo a lo largo del que se aplica el par:

${\displaystyle W=\tau \theta .\!}$

La potencia de un par es igual al trabajo realizado por el par por unidad de tiempo, por lo tanto:

${\displaystyle P=\tau \omega .\!}$

El momento angular ${\displaystyle \mathbf {L} }$ es una medida de la dificultad de hacer que un objeto giratorio deje de rotar. Viene dado por

${\displaystyle \mathbf {L} =\sum \mathbf {r} \times \mathbf {p} }$ para el conjunto de todas las partículas del objeto.

El momento angular es el producto del momento de inercia y la velocidad angular:

${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},}$

tal como p = mv en dinámica lineal.

El equivalente del momento lineal en el movimiento de rotación es el momento angular. Cuanto mayor es el momento angular del objeto que gira, mayor es su tendencia a continuar girando.

El momento angular de un cuerpo giratorio es proporcional a su masa y a la rapidez con la que gira. Además, el momento angular depende de cómo se distribuye la masa en relación con el eje de rotación: cuanto más lejos se encuentre la masa del eje de rotación, mayor será el momento angular. Por ejemplo, un disco plano tiene menos momento angular que un cilindro hueco de la misma masa y velocidad de rotación.

Al igual que el momento lineal, el momento angular es la cantidad vectorial, y su conservación implica que la dirección del eje de rotación tiende a permanecer sin cambios. Por esta razón, una peonza en rotación permanece vertical, mientras que una que no gira se cae inmediatamente.

La ecuación del momento angular se puede usar para relacionar el momento de la fuerza resultante sobre un cuerpo alrededor de un eje (a veces llamado par) y la velocidad de rotación alrededor de ese eje.

El par y el momento angular están relacionados de acuerdo con

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}},}$

tal como F = d p/dt en dinámica lineal. En ausencia de un par externo, el momento angular de un cuerpo permanece constante. La conservación del momento angular se demuestra notablemente en patinaje artístico sobre hielo: al acercar los brazos al cuerpo durante un giro, el momento de inercia disminuye y, por lo tanto, aumenta la velocidad angular.

La energía cinética Ec_rot debido a la rotación del cuerpo está dada por

${\displaystyle Ec_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2},}$

tal como Ec_tras = ¹⁄₂mv² en dinámica lineal.

La energía cinética es la energía del movimiento. La cantidad de energía cinética traslacional depende de dos variables: la masa del objeto (m) y la velocidad del objeto (v) como se muestra en la ecuación anterior. La energía cinética siempre debe ser cero o un valor positivo. Si bien la velocidad puede tener un valor positivo o negativo, la velocidad al cuadrado siempre será positiva.[1]

El caso más simple de rotación alrededor de un eje fijo es el de la velocidad angular constante. Entonces, el par total es cero. Para el ejemplo de la Tierra girando alrededor de su eje, hay muy poca fricción. Para un ventilador, el motor aplica un par para compensar la fricción. Al igual que el ventilador, los equipos que se encuentran en la industria de fabricación de producción en masa suelen valerse de la rotación alrededor de un eje fijo. Por ejemplo, se utiliza un torno multihusillo para rotar el material sobre su eje, con el fin de cortarlo, ajustarlo y tornearlo.[2] El ángulo de rotación es una función lineal del tiempo, que en módulo 360° es una función periódica.

Un ejemplo es el problema de los dos cuerpos con órbitas circulares.

La tensión mecánica interna proporciona la fuerza centrípeta que mantiene unido un objeto giratorio. El modelo de un cuerpo rígido no considera las deformaciones que lo acompañan. Si el cuerpo no es rígido, esta tensión hará que cambie de forma. Esto se expresa como el objeto que cambia de forma debido a la fuerza centrífuga.

Los cuerpos celestes que giran unos sobre otros a menudo tienen órbitas elípticas. El caso especial de las órbitas circulares es un ejemplo de una rotación alrededor de un eje fijo: este eje es la línea a través del centro de masas perpendicular al plano del movimiento. La fuerza centrípeta es proporcionada por la gravedad, como en el problema de los dos cuerpos. Esto generalmente también se aplica a un cuerpo celeste giratorio, por lo que no necesita ser sólido para mantener su forma a menos que la velocidad angular sea demasiado alta en relación con su densidad (aunque tenderá a convertirse en un esferoide, alargándose). Por ejemplo, un cuerpo celeste formado por agua en rotación, deberá tardar al menos 3 horas y 18 minutos en completar una vuelta, independientemente de su tamaño, o el agua se dispersará. Si la densidad del fluido es mayor, el tiempo puede ser menor (véase período orbital).[3]