Número de Hartogs

Dados algunos teoremas básicos de la teoría de conjuntos, la demostración de que todo conjunto posee un número de Hartogs es sencilla. Sea α = {β ∈ Ord: existe i: β → X inyectiva} la clase de los ordinales biyectables con un subconjunto de X.

Primero se debe verificar que α es un conjunto:

• X × X es un conjunto, gracias al axioma del conjunto potencia. Por la misma razón, el conjunto potencia de X × X también lo es.
• La clase W de todos los buenos órdenes de subconjuntos de X es una subclase definible del conjunto anterior, por lo que el esquema de especificación implica que es un conjunto.
• La clase de todos los tipos de orden de que además son un buen orden de W es un conjunto por el axioma de reemplazo, pues para w ∈ W:

(Dominio(w), w) ≅ (β, ≤)

se puede describir con una fórmula. Pero este último conjunto, que es un conjunto formado por ordinales, es precisamente α.

Por último, se demuestra que α tiene las propiedades enunciadas:

• Este conjunto es necesariamente transitivo: si β ∈ α y existe por tanto una f : β → X inyectiva, entonces dado un γ ∈ β, f también es inyectiva. Como un conjunto transitivo de ordinales es un ordinal, α es un ordinal.
• Si |β| = |γ| y β < α, obviamente γ < α, y por tanto α es un cardinal.
• Si hubiera una función inyectiva de α en X, entonces α ∈ α, por la definición de α. Como esto contradice la definición de ordinal, no existe dicha función inyectiva.
• Por último, α es el mínimo ordinal con esta propiedad, pues si β < α, β ∈ α y entonces hay una función inyectiva de β en X.

• Hartogs, Friedrich (1915). «Über das Problem der Wohlordnung». Mathematische Annalen 76: 438-443. doi:10.1007/BF01458215.
• Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded) (en inglés). Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Morgan, Charles. «Axiomatic set theory». Course Notes. University of Bristol. Consultado el 10 de abril de 2010.

• Esta obra contiene una traducción derivada de «Hartogs number» de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.