Números de Stirling de segunda especie

Los números de Stirling de segunda especie ${\displaystyle S(n,k)}$ se definen como la cantidad de maneras que existen de hacer una partición de un conjunto de n elementos en k subconjuntos. La suma:

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)}$

es el n-ésimo número de Bell. Si tomamos la fórmula

${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$

(en particular, (x)₀ = 1 porque se trata de un producto vacío), podemos caracterizar los números de Stirling de segundo tipo mediante

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}S(n,k)(x)_{k}=x^{n}.}$

Otra notación para los números de Stirling de segunda especie es:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}:=S(n,k)}$

A continuación se muestra una tabla de valores para los Números de Stirling de segunda especie:

Los Números de Stirling de segunda especie obedecen la siguiente relación de recurrencia

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=\left\{{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right\}+k\left\{{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right\}}$

con

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\1\end{matrix}}\right\}=1\quad {\mbox{ y }}\quad \left\{{\begin{matrix}n\\n\end{matrix}}\right\}=1.}$

Por ejemplo, el número 25 en la columna k=3 y la fila n=5 viene dado por 25=7+(3×6), donde 7 es el número de arriba a la izquierda del 25, 6 es el número que hay encima del 25 y 3 es la columna conteniendo el 6.

Otra relación de recurrencia útil es:[1]

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=\sum _{r=0}^{n-1}\left({\begin{matrix}n-1\\r\end{matrix}}\right)\left\{{\begin{matrix}r\\k-1\end{matrix}}\right\}}$

Usando un Triángulo de Sierpinski, es fácil mostrar que la paridad de un número de Stirling de segunda especie es igual a la paridad del coeficiente binomial:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}\equiv {\binom {z}{w}}{\pmod {2}},\quad z=n-\left\lceil {\dfrac {k+1}{2}}\right\rceil ,\ w=\left\lfloor {\dfrac {k-1}{2}}\right\rfloor .}$

O directamente, construimos dos conjuntos tales que contengan posiciones de 1's en representaciones binarias de los resultados de las respectivas expresiones:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A}$ :\ \sum _{i\in \mathbb {A} }2^{i}&=n-k,\\\mathbb {B} :\ \sum _{j\in \mathbb {B} }2^{j}&=\left\lfloor {\dfrac {k-1}{2}}\right\rfloor ,\\\end{aligned}}}

claramente aparecen semejanzas entre la operación AND y la intersección de estos dos conjuntos:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}{\bmod {2}}={\begin{cases}0,&\mathbb {A} \cap \mathbb {B} \neq \emptyset \\1,&\mathbb {A} \cap \mathbb {B} =\emptyset \end{cases}}}$

nos permitirá obtener la paridad de un número de Stirling de segunda especie en una cantidad constante de tiempo.

Primera identidad

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\n-1\end{matrix}}\right\}={n \choose 2}.}$

Esto es así porque dividir n elementos en n − 1 subconjuntos implica dividirlo en un conjunto de cardinal 2 y n − 2 conjuntos de cardinal 1, con lo que sólo tenemos que escoger los dos elementos que formarán el primer subconjunto de entre los n elementos que tenemos.

Segunda identidad

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\2\end{matrix}}\right\}=2^{n-1}-1.}$

Sea ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ un conjunto de ${\displaystyle n}$ elementos, el conjunto de las partes ${\displaystyle {\mathcal {P(A)}}}$ tiene ${\displaystyle 2^{n}}$ elementos, cada uno de ellos es un subconjunto de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ por lo que para cada ${\displaystyle a\in {\mathcal {P(A)}}}$ existe su conjunto complementario ${\displaystyle a^{c}:a^{c}\cup a={\mathcal {A}}}$. Por tanto tenemos ${\displaystyle 2^{n}/2=2^{n-1}}$ pares de subconjuntos tales que su unión forma el conjunto ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, pero tenemos que descartar la pareja que contiene el conjunto nulo, ya que dicha pareja no forma una partición de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ (por definición).

Tercera identidad

Otra forma de expandir recursivamente los números de Stirling de segunda especie.

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\2\end{matrix}}\right\}={\frac {{\frac {1}{1}}(2^{n-1}-1^{n-1})}{0!}}}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\3\end{matrix}}\right\}={\frac {{\frac {1}{1}}(3^{n-1}-2^{n-1})-{\frac {1}{2}}(3^{n-1}-1^{n-1})}{1!}}}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\4\end{matrix}}\right\}={\frac {{\frac {1}{1}}(4^{n-1}-3^{n-1})-{\frac {2}{2}}(4^{n-1}-2^{n-1})+{\frac {1}{3}}(4^{n-1}-1^{n-1})}{2!}}}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\5\end{matrix}}\right\}={\frac {{\frac {1}{1}}(5^{n-1}-4^{n-1})-{\frac {3}{2}}(5^{n-1}-3^{n-1})+{\frac {3}{3}}(5^{n-1}-2^{n-1})-{\frac {1}{4}}(5^{n-1}-1^{n-1})}{3!}}}$

${\displaystyle \vdots }$

Los números de Stirling de segunda especie vienen dados por la siguiente fórmula explícita:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=\sum _{j=1}^{k}(-1)^{k-j}{\frac {j^{n-1}}{(j-1)!(k-j)!}}={\frac {1}{k!}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}j^{n}.}$

Esta fórmula es un caso especial de la k-ésima diferencia hacia delante (en inglés, forward difference) del monomio ${\displaystyle x^{n}}$ evaluado en x = 0:

${\displaystyle \Delta ^{k}x^{n}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}(x+j)^{n}.}$

Debido a que los polinomios de Bernoulli pueden expresarse en términos de estas diferencias hacia delante, obtenemos una relación inmediata con los números de Bernoulli:

${\displaystyle B_{m}(0)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {(-1)^{k}k!}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}.}$

Una función generatriz para los números de Stirling de segunda especie viene dada por:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k}=x^{n}.}$

Si X es una variable aleatoria de una distribución de Poisson con valor esperado λ, entonces, su momento n-ésimo es

${\displaystyle E(X^{n})=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)\lambda ^{k}.}$

En particular, el momento n-ésimo de la distribución de Poisson con valor esperado 1 es precisamente el número de particiones de un conjunto de tamaño n, i.e., es el n-ésimo número de Bell (este hecho es la fórmula de Dobinski).

Sea la variable aleatoria X el número de puntos fijos de una permutación aleatoria uniformemente distribuida de un conjunto finito de tamaño m. Entonces el n-ésimo momento de X es

${\displaystyle E(X^{n})=\sum _{k=1}^{m}S(n,k).}$

Nota: el límite superior de la sumatoria es m, no n.

En otras palabras, el n-ésimo momento de esta distribución de probabilidad es el número de particiones de un conjunto de tamaño n dentro de no más de m partes. Esto está probado en la página de random permutation statistics, aunque la notación es un poco diferente.

Los números de Stirling de segunda especie pueden representar el número total de formas que una persona puede coleccionar todos los premios después de abrir un número dado de cajas de cereal. Por ejemplo, si hay 3 premios, y uno abre tres cajas, hay ${\displaystyle S(3,3)}$, o 1 manera de ganar, {1,2,3}. Si se abren 4 cajas, hay 6 maneras de ganar ${\displaystyle S(4,3)}$; {1,1,2,3}, {1,2,1,3}, {1,2,3,1}, {1,2,2,3}, {1,2,3,2}, {1,2,3,3}.

Los números de Stirling del segundo tipo pueden representar el número total de esquemas de rima de un poema de n líneas. ${\displaystyle S(n,k)}$ da el número de posibles esquemas de rima para n líneas usando k sílabas de rima únicas. Como ejemplo, para un poema de 3 líneas, hay 1 esquema de rima usando solo 1 rima (aaa), 3 esquemas de rima usando dos rimas (aab,aba,abb), y un esquema de rima entre las 3 líneas (abc).

• Números de Bell - el número de particiones de un conjunto con n elementos.