Operación binaria

Si a cada par de valores (a, b) de ${\displaystyle A}$ la operación le corresponde un valor c de A:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledast$ :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledast b\end{array}}}

se dice que esta operación es interna, también se llama ley de composición interna, así por ejemplo dado el conjunto de vectores de tres dimensiones ${\displaystyle V^{3}}$ y la adición de vectores, se tiene:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}+:&V^{3}\times V^{3}&\longrightarrow &V^{3}\\&(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\longmapsto &\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} \end{array}}}$

que la suma de dos vectores de ${\displaystyle V^{3}}$ es otro vector de ${\displaystyle V^{3}}$, por ejemplo, dados los vectores:

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} }$

${\displaystyle \mathbf {b} =b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} }$

su suma es:

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} }$

${\displaystyle \mathbf {c} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )+(b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} )}$

${\displaystyle \mathbf {c} =(a_{x}+b_{x})\mathbf {i} +(a_{y}+b_{y})\mathbf {j} +(a_{z}+b_{z})\mathbf {k} }$

${\displaystyle \mathbf {c} =c_{x}\mathbf {i} +c_{y}\mathbf {j} +c_{z}\mathbf {k} }$

Si la operación no es interna entonces es externa, pudiéndose presentar los siguientes casos:

• Si a cada par de valores a de A y b de B, se le asigna un valor c de A,

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star$ :&A\times B&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\star b\end{array}}}

a esta operación también se denomina ley de composición externa, un ejemplo claro, de esta operación, es el producto de un vector por un escalar:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\cdot$ :&V^{3}\times R&\longrightarrow &V^{3}\\&(\mathbf {a} ,b)&\longmapsto &\mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot b\end{array}}}

así, dado el vector:

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} }$

el resultado de multiplicarlo por un escalar b, será:

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot b\;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )\cdot b\;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\cdot b)\mathbf {i} +(a_{y}\cdot b)\mathbf {j} +(a_{z}\cdot b)\mathbf {k} }$

• Si la operación es de la forma:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star$ :&A\times A&\longrightarrow &B\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\star b\end{array}}}

en la que a cada par de valores a, b de A se le asigna un c de B, esta operación no se denomina ley de composición, como ejemplo podemos poner el producto escalar de dos vectores, que da como resultado un número real:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circ$ :&V^{3}\times V^{3}&\longrightarrow &R\\&(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\longmapsto &c=\mathbf {a} \circ \mathbf {b} \end{array}}}

así dados los vectores:

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} }$

${\displaystyle \mathbf {b} =b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} }$

su producto escalar será:

${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \circ \mathbf {b} \;,\quad \mathbf {c} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )\circ (b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} )\;,\quad \mathbf {c} =a_{x}\cdot b_{x}+a_{y}\cdot b_{y}+a_{z}\cdot b_{z}}$

• Si la operación asigna a cada par de valores a de A y b de B un c de C, siendo A, B y C conjuntos distintos:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star$ :&A\times B&\longrightarrow &C\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\star b\end{array}}}

es el caso más general, y tampoco se denomina ley de composición, podemos ver el ejemplo de la división de un número entero entre un número natural para dar como resultado un número racional

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}/:&Z\times N&\longrightarrow &Q\\&(a,b)&\longmapsto &c=a/b\end{array}}}$