Péndulo esférico

Entendidos como un objeto ideal compuesto por una masa puntual m suspendida de un punto fijo O mediante un hilo inextensible y sin masa, el péndulo simple y el esférico son el mismo objeto. Cuando la velocidad inicial de la masa es un vector contenido en el plano determinado por la vertical y la posición inicial del hilo, entonces todo el movimiento se desarrolla en dicho plano y se habla de péndulo simple. Cuando la velocidad inicial no cumple la condición antedicha el movimiento tiene lugar en el espacio y se habla de péndulo esférico.

Puesto que la longitud del hilo es constante el movimiento de la masa del péndulo simple tiene lugar en un arco de circunferencia simétrico con respecto a la vertical.[1] Por la misma razón, en el péndulo esférico la posición de la masa está determinada por los dos ángulos ${\displaystyle \theta }$ y ${\displaystyle \varphi }$ de la figura, por lo que el movimiento tiene lugar en una superficie esférica y es un sistema con dos grados de libertad. Más aún, el movimiento de la masa está confinado a la porción de superficie esférica entre dos planos perpendiculares a la vertical.

Existen dos integrales o constantes de movimiento: la energía E y la componente del momento angular paralela al eje vertical M_z. La función lagrangiana viene dada por:

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}ml^{2}({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta )+mgl\cos \theta }$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle \phi }$	Ángulo polar
${\displaystyle \theta }$	Ángulo que forma el hilo o barra del péndulo con la vertical

Las ecuaciones de movimiento, obtenidas introduciendo el lagrangiano anterior en las ecuaciones de Euler-Lagrange son:

Diagrama ilustrativo del péndulo esférico.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\cfrac {d}{dt}}{\cfrac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}-{\cfrac {\partial L}{\partial \theta }}=0&\Rightarrow &l{\ddot {\theta }}-l{\dot {\phi }}^{2}\operatorname {sen} \theta \cos \theta +g\operatorname {sen} \theta =0\\\\{\cfrac {d}{dt}}{\cfrac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}-{\cfrac {\partial L}{\partial \phi }}=0&\Rightarrow &{\cfrac {d}{dt}}(ml^{2}{\dot {\phi }}\operatorname {sen} ^{2}\theta )=0\end{matrix}}}$

La segunda ecuación expresa la constancia de la componente Z del momento angular y lleva a la relación entre la velocidad de giro polar y el momento angular

${\displaystyle {\dot {\phi }}={\frac {M_{z}}{ml^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }}}$

Así, podemos reescribir la lagrangiana como:

${\displaystyle L=K({\dot {\theta }})+U_{ef}(\theta )={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {M_{z}^{2}}{2ml^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta }$

de modo que el problema queda reducido a un problema unidimensional.

• Péndulo
• Péndulo simple
• Péndulo cónico
• Oscilador armónico
• Péndulo de Foucault

• Revista Colombiana de Física, Vol. 38, No. 2. 2006 (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
• Péndulo esférico Mecánica analítica. Miztli Y. Yépez Martínez