Polígono convexo

Un polígono es convexo si al prolongar cualquiera de sus lados queda completamente en uno de los semiplanos que determina tal recta.[1]

Los polígonos convexos tienen una amplia gama de propiedades que los hacen especialmente útiles en la resolución de problemas de geometría, geometría computacional e informática gráfica.

Todos los triángulos son polígonos convexos. Todos los polígonos regulares son convexos, salvo los polígonos estrellados regulares. Un polígono simple puede ser convexo o cóncavo, excepto un triángulo que no puede ser cóncavo. Dos puntos distintos A y B determinan un lado de un triángulo ( y una recta) el tercer punto C queda en uno de los semiplanos determinado por la recta AB y por ello todo el Δ queda en un solo semiplano respecto a AB. Pero si hay por los menos dos puntos más, aparte de A y B, ellos pueden estar en un mismo semiplano o en semiplanos opuestos, lo que no garantiza la convexidad [2]

El cierre convexo de una serie de puntos es siempre un polígono convexo

Triangulación en abanico de un polígono convexo, empleando las diagonales de un vértice.

Las siguientes propiedades de un polígono simple son equivalentes a la condición de convexidad:

• Todos sus ángulos son menores 180 grados.
• Todo segmento cuyos extremos estén en el interior o la frontera del polígono está contenido en la región poligonal.
• Todas sus diagonales están contenidas completamente en la región poligona, hecho que no ocurre en caso de polígonos cóncavos.
• El interior del polígono está completamente contenido en el semiplano definido por la recta soporte de cada uno de sus lados.
• El interior del polígono está completamente contenido en la región angular interior del ángulo de cada uno de sus vértices.
• El polígono coincide con el cierre convexo de sus vértices.
• Todo polígono simple y cíclico, es decir, aquellos polígonos cuyos vértices están todos en su circunferencia circunscrita, son convexos. Sin embargo, no todos los polígonos convexos son cíclicos.
• Todo polígono simple y regular son convexos. La condición de polígono simple es necesaria porque existen polígonos estrellados regulares.

Adicionalmente, todos los polígonos convexos cumplen las siguientes propiedades:

• La intersección de dos polígonos convexos es un polígono convexo.
• Todos los polígonos convexos son monótonos.
• La suma de los ángulos de un polígono convexo de ${\displaystyle n}$ lados es ${\displaystyle (n-2)\cdot \pi }$ radianes.[5]
• El número de diagonales de un polígono de n lados es:${\displaystyle N_{d}={\frac {n(n-3)}{2}}}$.
• En toda colección de al menos 3 polígonos convexos: si la intersección de cada 3 de ellos es no vacía, entonces la intersección de toda la colección es no vacía (Teorema de Helly).
• Un polígono convexo puede ser reconstruido a partir de las coordenadas de sus vértices, sin necesidad de conocer el orden de los mismos (Teorema de Krein-Milman). Esto es consecuencia de que unpolígono convexo equivale al cierre convexo de sus vértices.
• Para cualquier par de polígonos convexos cuya intersección sea vacía, puede trazarse una recta que los separa.
• De todos los triángulos contenidos en un polígono convexo, existe un triángulo de área maximal cuyos vértices son todos vértices del polígono.[6]
• Todo polígono convexo con área ${\displaystyle A}$ puede ser inscrito en el interior de un triángulo de área menor o igual a ${\displaystyle 2A}$. El área será ${\displaystyle 2A}$ únicamente si el polígono es un paralelogramo.[7]
• El diámetro medio de un polígono convexo es igual a su perímetro dividido por ${\displaystyle \pi }$. Así que su diámetro medio es igual al diámetro de una circunferencia del mismo perímetro que el polígono[8]
• Para todo polígono convexo ${\displaystyle C}$, podemos inscribir dentro un rectángulo ${\displaystyle r}$ tal que una copia homotética de ${\displaystyle r}$, llamada ${\displaystyle R}$, será circunscrita a ${\displaystyle C}$ y la razón de homotecia será menor o igual a 2, y además ${\displaystyle 0.5{\text{ × area}}(R)\leq {\text{area}}(C)\leq 2{\text{ × area}}(r)}$.[9]

• Weisstein, Eric W. «ConvexPolygon». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
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