Polinomios de Laguerre

Los polinomios de Laguerre son una familia de polinomios ortogonales, llamados así en honor de Edmond Laguerre, surgen al examinar las soluciones a la ecuación diferencial:

x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0\,

Desarrollando $y$ en serie de potencias se obtiene una relación de recurrencia entre coeficientes consecutivos como la que sigue:

a_{k+1}={\frac {k-n}{(k+1)^{2}}}a_{k},\ \ k=0,1,2,...;\ \ \ y(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}\,

Puede verse que siempre que n sea natural se anula el coeficiente de toda potencia mayor (y distinta) que n. Esto es, una de las soluciones linealmente independientes es un polinomio de grado n (polinomio de laguerre de orden n, que notaremos por L_n(x)). Para encontrar la otra solución linealmente independiente han de estudiarse las soluciones de la ecuación más general $y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0$ .

Definición

El polinomio de Laguerre de orden n puede definirse como sigue:

L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x}).

Que tras desarrollar queda de la forma:

L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {1}{k!}}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {n!}{(n-k)!k!k!}}x^{k}

algunos de estos polinomios son:

n	$L_{n}(x)\,$
0	$1\,$
1	$-x+1\,$
2	$(x^{2}-4x+2)/2\,$
3	$(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)/6\,$
4	$(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)/24\,$
5	$(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)/120\,$
6	$(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)/720\,$

Los polinomios de Laguerre también pueden ser definidos mediante la integral:

L_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)\,t^{n+1}}}\;dt

Integrando en sentido contrario a las agujas del reloj sobre cualquier camino cerrado en torno al origen del plano complejo y contenido en el disco |t| < 1.

Función generatriz

La función generatriz de los polinomios de Laguerre viene dada por:

\psi (x,t)=\sum _{n=0}^{\infty }{L_{n}(x)}t^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{n \choose k}x^{k}t^{n}\ \ \ |t|<1

Cambiando el orden de los sumatorios, haciendo el cambio m = n - k y reordenando queda lo que a continuación:

\psi (x,t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}t^{k}\sum _{m=0}^{\infty }{m+k \choose k}t^{m}

Que sabiendo que $\ \scriptstyle \sum _{m=0}^{\infty }{m+k \choose k}t^{m}=\left({\frac {1}{1-t}}\right)^{k+1}\ \ \forall \ |t|<1$ , y después de reagrupar queda de la forma:

\psi (x,t)={\frac {1}{1-t}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left({\frac {-xt}{1-t}}\right)^{k}={\frac {1}{1-t}}\exp {\left({\frac {-xt}{1-t}}\right)}

Relaciones de recurrencia

A partir de la función generatriz, despejando la exponencial y derivando respecto de t se puede llegar a una relación de recurrencia como la siguiente:

(n+1)L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_{n}(x)-nL_{n-1}(x)\,

Conocidos los dos primeros polinomios (ver tabla) puede utilizarse esta fórmula para obtener el de grado n.

Ortogonalidad

Los polinomios de Laguerre son ortogonales según el producto escalar:

\left\langle L_{n}|L_{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }L_{n}(x)L_{m}(x)e^{-x}dx=\delta _{nm}

Siendo $\delta _{nm}$ la delta de Kronecker. No obstante podemos definir las funciones:

\varphi _{n}(x)=L_{n}(x)e^{-x/2}

Que claramente son ortonormales respecto del producto escalar ordinario:

\left\langle \varphi _{n}|\varphi _{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }\varphi _{n}(x)\varphi _{m}(x)dx=\delta _{nm}

Despejando de su definición los polinomios de Laguerre y sustituyendo en la ecuación de Laguerre obtenemos la ecuación diferencial que nos da estas funciones como solución:

x\varphi _{n}''(x)+\varphi _{n}'(x)+\left(n+{\frac {1}{2}}-{\frac {x}{4}}\right)\varphi _{n}(x)=0

Polinomios asociados de Laguerre

También llamados polinomios de Laguerre generalizados, son polinomios que cumplen la siguiente ecuación diferencial:

xy''(x)+(m+1-x)y'(x)+(n-m)y(x)=0\,

Definición

Quedan definidos a partir de las derivadas de los polinomios de Laguerre:

L_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}L_{n+m}(x)={\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(e^{x}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})\right)\ \ \ m\leq n

Aunque en ocasiones puede resultar ventajosa la siguiente definición:

L_{n}^{m}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}x^{-m}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(e^{-x}x^{n+m})

Puede comprobarse que para m > n el polinomio asociado correspondiente vale 0. Asimismo, salta a la vista que $\scriptstyle L_{n}^{0}(x)=L_{n}(x)$ .

Derivando, según la definición se obtiene:

L_{n}^{m}(x)=\sum _{k=0}^{n-m}(-1)^{k}{n \choose k+m}{\frac {1}{k!}}x^{k}=\sum _{k=0}^{n-m}(-1)^{k}{\frac {n!}{(n-m-k)!(k+m)!k!}}x^{k}

Función generatriz y relaciones de recurrencia

La función generatriz viene dada por:

\psi _{m}(x,t)=\sum _{n=m}^{\infty }L_{n}^{m}(x)t^{n}={\frac {1}{(1-t)^{m+1}}}\exp {\left({\frac {-xt}{1-t}}\right)}\ \ \ |t|<1

De la que se derivan las relaciones de recurrencia que cumplen; algunas de las cuales son las siguientes:

L_{n}^{m}(x)=L_{n}^{m+1}(x)-L_{n-1}^{m+1}(x)

{\frac {d}{dx}}L_{n}^{m}(x)=-L_{n-1}^{m+1}(x)

nL_{n}^{m}(x)=(n+m)L_{n-1}^{m}(x)-xL_{n-1}^{m+1}(x)

(n+1)L_{n+1}^{m}(x)=(2n+m+1-x)L_{n}^{m}(x)-(n+m)L_{n-1}^{m}(x)

x{\frac {d}{dx}}L_{n}^{m}(x)=nL_{n}^{m}(x)-(n+m)L_{n-1}^{m}(x)

Ortogonalidad

Los polinomios asociados de Laguerre son ortogonales respecto la función peso $\scriptstyle x^{m}e^{-x}$ . Se cumple que:

\left\langle L_{n}^{m}|L_{n'}^{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{m}L_{n}^{m}(x)L_{n'}^{m}(x)dx={\frac {\Gamma (n+m+1)}{n!}}\delta _{nn'}

Otra relación de importancia que cumplen es la siguiente:

\left\langle L_{n}^{m}|xL_{n}^{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{m+1}L_{n}^{m}(x)L_{n}^{m}(x)dx={\frac {\Gamma (n+m+1)}{n!}}(2n+m+1)

Donde $\scriptstyle \Gamma (k)$ es la función Gamma.

Como con los polinomios de Laguerre, se encuentra que las siguientes funciones son ortonormales respecto de la función peso 1:

$\varphi _{nm}(x)={\sqrt {\frac {n!}{\Gamma (n+m+1)}}}e^{-x/2}x^{m/2}L_{n}^{m}(x)$

Son de importancia en mecánica cuántica otras que son ortonormales respecto de la función peso $\scriptstyle x^{2}$ (debido a la forma que toma la integral de volumen en coordenadas esféricas) que surgen como solución a la parte radial de la ecuación de Schrödinger para el átomo hidrogenoide. Estas funciones son las siguientes:

$R_{nl}(\rho )=Ne^{-\rho /2}\rho ^{l}L_{n+l}^{2l+1}(\rho )$

En general las funciones construidas de la forma:

$\varphi _{nm\nu }(x)=e^{-x/2}x^{\nu }L_{n}^{m}(x)$

Son ortogonales respecto de la función peso $\scriptstyle x^{m-2\nu }$ y son solución de la ecuación:

$x\varphi _{nm\nu }''(x)+(m+1-2\nu )\varphi _{nm\nu }'(x)+\left[n+{\frac {m+1}{2}}-{\frac {x}{4}}+{\frac {\nu (\nu -m)}{x}}\right]\varphi _{nm\nu }=0$

Relación con los polinomios de Hermite

Los polinomios de Laguerre se relacionan con los polinomios de Hermite como sigue:

$L_{n}^{-1/2}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n}n!}}H_{2n}({\sqrt {x}})$

$L_{n}^{1/2}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n+1}n!}}{\frac {H_{2n+1}({\sqrt {x}})}{\sqrt {x}}}$

Véase también

Referencias

Apuntes de Polinomios de Laguerre por la Universidad de Chile
Weisstein, Eric W. «Polinomios asociados de Laguerre». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE EL SEMIGRUPO DE LAGUERRE

Datos: Q1124546
Multimedia: Laguerre polynomials / Q1124546

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