Polinomios de Fibonacci

Los polinomios de Fibonacci están definidos por una relación de recurrencia:[1]

${\displaystyle F_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{si }}n=0\\1,&{\mbox{si }}n=1\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{si }}n\geq 2\end{cases}}}$

Los primeros polinomios de Fibonacci son:

${\displaystyle F_{0}(x)=0\,}$

${\displaystyle F_{1}(x)=1\,}$

${\displaystyle F_{2}(x)=x\,}$

${\displaystyle F_{3}(x)=x^{2}+1\,}$

${\displaystyle F_{4}(x)=x^{3}+2x\,}$

${\displaystyle F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,}$

${\displaystyle F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,}$

Los polinomios de Lucas usan la misma recurrencia con diferentes valores iniciales:[2] ${\displaystyle L_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{si }}n=0\\x,&{\mbox{si }}n=1\\xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),&{\mbox{si }}n\geq 2.\end{cases}}}$

Los primeros polinomios de Lucas son:

${\displaystyle L_{0}(x)=2\,}$

${\displaystyle L_{1}(x)=x\,}$

${\displaystyle L_{2}(x)=x^{2}+2\,}$

${\displaystyle L_{3}(x)=x^{3}+3x\,}$

${\displaystyle L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,}$

${\displaystyle L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,}$

${\displaystyle L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2.\,}$

Los números de Fibonacci y Lucas se obtienen al dar valor a los polinomios en x = 1; los números de Pell resultan de asignar un valor a F_n en x = 2. Los grados de F_n son n − 1 y el grado de L_n es n. Las funciones generadoras ordinarias para las secuencias son:[3]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}.}$

Los polinomios se pueden expresar en términos de la sucesión de Lucas como

${\displaystyle F_{n}(x)=U_{n}(x,-1),\,}$

${\displaystyle L_{n}(x)=V_{n}(x,-1).\,}$

Como casos particulares de secuencias de Lucas, los polinomios de Fibonacci satisfacen una serie de identidades.

Primero, pueden ser definidos por los índices negativos por[4]

${\displaystyle F_{-n}(x)=(-1)^{n-1}F_{n}(x),\,L_{-n}(x)=(-1)^{n}L_{n}(x).}$

Otras identidades incluyen:[4]

${\displaystyle F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_{n}(x)+F_{m}(x)F_{n-1}(x)\,}$

${\displaystyle L_{m+n}(x)=L_{m}(x)L_{n}(x)-(-1)^{n}L_{m-n}(x)\,}$

${\displaystyle F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_{n}(x)^{2}=(-1)^{n}\,}$

${\displaystyle F_{2n}(x)=F_{n}(x)L_{n}(x).\,}$

Las expresiones de forma cerrada, similares a la fórmula de Binet son:[4]

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {\alpha (x)^{n}-\beta (x)^{n}}{\alpha (x)-\beta (x)}},\,L_{n}(x)=\alpha (x)^{n}+\beta (x)^{n},}$

donde

${\displaystyle \alpha (x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}},\,\beta (x)={\frac {x-{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}}$

son las soluciones (en t) de

${\displaystyle t^{2}-xt-1=0.\,}$

Una relación entre los polinomios de Fibonacci y los polinomios de base estándar viene dada por

${\displaystyle x^{n}=F_{n+1}(x)+\sum _{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}\left[{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}\right]F_{n+1-2k}(x).}$

Por ejemplo,[5]

${\displaystyle x^{4}=F_{5}(x)-3F_{3}(x)+2F_{1}(x)\,}$

${\displaystyle x^{5}=F_{6}(x)-4F_{4}(x)+4F_{2}(x)\,}$

${\displaystyle x^{6}=F_{7}(x)-5F_{5}(x)+9F_{3}(x)-5F_{1}(x)\,}$

${\displaystyle x^{7}=F_{8}(x)-6F_{6}(x)+14F_{4}(x)-14F_{2}(x)\,}$

Los coeficientes de los polinomios de Fibonacci se pueden leer en el triángulo de Pascal siguiendo las diagonales "superficiales" (que se muestran en rojo). Las sumas de los coeficientes son los números de Fibonacci.

Si F (n, k) es el coeficiente de x^k en F_n(x), entonces

${\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}F(n,k)x^{k},\,}$

entonces F(n, k) es el número de maneras en que un rectángulo de n-1 por 1 puede ser recubierto con dominós de 2 por 1 y de 1 por 1, de modo que se usen exactamente k piezas de tamaño 1.[1] Equivalentemente, F (n, k) es el número de formas de escribir n-1 como una suma ordenada que involucra solo los números 1 y 2, de modo que 1 se usa exactamente k veces. Por ejemplo, F(6,3) = 4, porque 5 (igual a n-1) se puede escribir con estas reglas de 4 maneras distintas: 1 + 1 + 1 + 2; 1 + 1 + 2 + 1; 1 + 2 + 1 + 1; 2 + 1 + 1 + 1; como una suma que involucra solo 1 y 2, con el número 1 usado 3 veces. Contando el número de veces que se usan 1 y 2 en tal suma, es evidente que F(n, k) es igual al coeficiente binomial

${\displaystyle F(n,k)={\binom {\tfrac {n+k-1}{2}}{k}}}$

cuando n y k tienen paridad opuesta. Esto proporciona una forma de leer los coeficientes del triángulo de Pascal como se muestra a la derecha.

• Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J. (2003). «§9.4 Fibonacci and Lucas Polynomial». Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof. Dolciani Mathematical Expositions 27. Mathematical Association of America. p. 141. ISBN 978-0-88385-333-7.
• Philippou, Andreas N. (2001), «Fibonacci polynomials», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
• Philippou, Andreas N. (2001), «Lucas polynomials», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
• Weisstein, Eric W. «Lucas Polynomial». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

• Hoggatt, V. E.; Bicknell, Marjorie (1973). «Roots of Fibonacci polynomials.». Fibonacci Quarterly 11: 271-274. ISSN 0015-0517. MR 0332645.
• Hoggatt, V. E.; Long, Calvin T. (1974). «Divisibility properties of generalized Fibonacci Polynomials». Fibonacci Quarterly 12: 113. MR 0352034.
• Ricci, Paolo Emilio (1995). «Generalized Lucas polynomials and Fibonacci polynomials». Rivista di Matematica della Università di Parma. V. Ser. 4: 137-146. MR 1395332.
• Yuan, Yi; Zhang, Wenpeng (2002). «Some identities involving the Fibonacci Polynomials». Fibonacci Quarterly 40 (4): 314. MR 1920571.
• Cigler, Johann (2003). «q-Fibonacci polynomials». Fibonacci Quarterly (41): 31-40. MR 1962279.

• OEIS sequence A162515 (Triangle of coefficients of polynomials defined by Binet form)
• OEIS sequence A011973 (Triangle of coefficients of Fibonacci polynomials)