Sucesión de Lucas

Los números de Lucas están dados por:

• ${\displaystyle l_{0}=2~}$
• ${\displaystyle l_{1}=1~}$
• ${\displaystyle l_{n}=l_{n-1}+l_{n-2}~}$ para ${\displaystyle n=2,3,4,5,\ldots }$

Teniendo ciertas propiedades como: La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión de Fibonacci y comparte muchas de sus características. Algunas propiedades interesantes incluyen:

• La proporción entre un número de Lucas y su sucesor inmediato se aproxima al número áureo. Es decir

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {l_{n+1}}{l_{n}}}=\varphi }$

• La fórmula explícita para la sucesión de Lucas es

${\displaystyle l_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}}$

• La suma de los primeros ${\displaystyle n}$ números de Lucas es el número que se encuentra en la posición ${\displaystyle n+2}$ menos uno. Es decir

${\displaystyle l_{0}+l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n}=l_{n+2}-1}$

• Cualquier fórmula que contenga un número de Lucas puede expresarse en términos de números de Fibonacci mediante la igualdad

${\displaystyle l_{n}=f_{n-1}+f_{n+1}~}$

• Cualquier fórmula que contenga un número de Fibonacci puede expresarse en términos de números de Lucas mediante la igualdad

${\displaystyle f_{n}={\frac {l_{n-1}+l_{n+1}}{5}}}$

Teniendo en cuenta dos parámetros enteros P y Q, la sucesión de Lucas de la primera clase U_n(P,Q) y de la segunda clase V_n(P,Q) Se definen por las relaciones de recurrencia:

${\displaystyle U_{0}(P,Q)=0,\,}$

${\displaystyle U_{1}(P,Q)=1,\,}$

${\displaystyle U_{n}(P,Q)=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q){\mbox{ for }}n>1,\,}$

y

${\displaystyle V_{0}(P,Q)=2,\,}$

${\displaystyle V_{1}(P,Q)=P,\,}$

${\displaystyle V_{n}(P,Q)=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q){\mbox{ for }}n>1,\,}$

No es difícil mostrar que para ${\displaystyle n>0}$,

${\displaystyle U_{n}(P,Q)={\frac {P\cdot U_{n-1}(P,Q)+V_{n-1}(P,Q)}{2}},\,}$

${\displaystyle V_{n}(P,Q)={\frac {(P^{2}-4Q)\cdot U_{n-1}(P,Q)+P\cdot V_{n-1}(P,Q)}{2}}.\,}$

Los términos iniciales de la sucesión U_n(P,Q) y V_n(P,Q) se dan en esta tabla:

${\displaystyle n\,}$	${\displaystyle U_{n}(P,Q)\,}$	${\displaystyle V_{n}(P,Q)\,}$
${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle 2\,}$
${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle P\,}$
${\displaystyle 2\,}$	${\displaystyle P\,}$	${\displaystyle {P}^{2}-2Q\,}$
${\displaystyle 3\,}$	${\displaystyle {P}^{2}-Q\,}$	${\displaystyle {P}^{3}-3PQ\,}$
${\displaystyle 4\,}$	${\displaystyle {P}^{3}-2PQ\,}$	${\displaystyle {P}^{4}-4{P}^{2}Q+2{Q}^{2}\,}$
${\displaystyle 5\,}$	${\displaystyle {P}^{4}-3{P}^{2}Q+{Q}^{2}\,}$	${\displaystyle {P}^{5}-5{P}^{3}Q+5P{Q}^{2}\,}$
${\displaystyle 6\,}$	${\displaystyle {P}^{5}-4{P}^{3}Q+3P{Q}^{2}\,}$	${\displaystyle {P}^{6}-6{P}^{4}Q+9{P}^{2}{Q}^{2}-2{Q}^{3}\,}$

La ecuación característica de la relación de recurrencia para las sucesiones de Lucas ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ y ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$ es:

${\displaystyle x^{2}-Px+Q=0\,}$

Tiene la discriminante ${\displaystyle D=P^{2}-4Q}$ y las raíces:

${\displaystyle a={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}.\,}$

Por lo tanto:

${\displaystyle a+b=P\,,}$

${\displaystyle ab={\frac {1}{4}}(P^{2}-D)=Q\,,}$

${\displaystyle a-b={\sqrt {D}}\,.}$

Las secuencias de Lucas para algunos valores de P y Q tienen nombres específicos:

U_n(1,−1): Números de Fibonacci

V_n(1,−1): Números de Lucas

U_n(2,−1): Números de Pell

V_n(2,−1): Números de Pell-Lucas

U_n(1,−2): Números de Jacobsthal

V_n(1,−2): Números de Jacobsthal-Lucas

U_n(3, 2): Números de Mersenne 2ⁿ − 1

V_n(3, 2): Números de la forma 2ⁿ + 1, que incluye los números de Fermat(Yubuta, 2001).

U_n(x,−1): Polinomios de Fibonacci

V_n(x,−1): Polinomios de Lucas

U_n(x+1, x): Repitunos en base x

V_n(x+1, x): xⁿ + 1

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