Polinomios secundarios

En matemáticas, los polinomios secundarios ${\displaystyle \{q_{n}(x)\}}$ asociados con una sucesión matemática ${\displaystyle \{p_{n}(x)\}}$ de polinomios ortogonales con respecto a una densidad ${\displaystyle \rho (x)}$ se definen por

${\displaystyle q_{n}(x)=\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {p_{n}(t)-p_{n}(x)}{t-x}}\rho (t)\,dt.}$

Para ver que las funciones ${\displaystyle q_{n}(x)}$ son polinomios, considérese el ejemplo simple de ${\displaystyle p_{0}(x)=x^{3}.}$. Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{0}(x)&{}=\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {t^{3}-x^{3}}{t-x}}\rho (t)\,dt\\&{}=\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {(t-x)(t^{2}+tx+x^{2})}{t-x}}\rho (t)\,dt\\&{}=\int _{\mathbb {R} }\!(t^{2}+tx+x^{2})\rho (t)\,dt\\&{}=\int _{\mathbb {R} }\!t^{2}\rho (t)\,dt+x\int _{\mathbb {R} }\!t\rho (t)\,dt+x^{2}\int _{\mathbb {R} }\!\rho (t)\,dt\end{aligned}}}$

que es un polinomio en ${\displaystyle x}$ tal que las tres integrales en ${\displaystyle t}$ (los momentos de la densidad ${\displaystyle \rho }$) sean convergentes.