Potencial de Riesz

En matemáticas, el potencial de Riesz es una potencial que debe su nombre a su descubridor, el matemático húngaro Marcel Riesz. En cierto sentido, el potencial de Riesz define una inversa para una potencia del operador de Laplace en el espacio euclídeo. Generalizan a varias variables las integrales de Riemann-Liouvilles de una variable.

Definición

Si 0 < α < n, entonces el potencial de Riesz I_αf de una función localmente integrable f en Rⁿ es la función definida por

$(I_{\alpha }f)(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {f(y)}{|x-y|^{n-\alpha }}}\,\mathrm {d} y$

(1)

donde la constante viene dada por[1]

c_{\alpha }=\pi ^{n/2}2^{\alpha }{\frac {\Gamma (\alpha /2)}{\Gamma ((n-\alpha )/2)}}.

Referencias

Samko, 1998, section II.

Bibliografía

Landkof, N. S. (1972), Foundations of modern potential theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0350027.
Riesz, Marcel (1949), «L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy», Acta Mathematica 81: 1-223, ISSN 0001-5962, MR 0030102, doi:10.1007/BF02395016..
Solomentsev, E.D. (2001), «Riesz potential», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
Schikorra, Armin; Spector, Daniel; Van Schaftingen, Jean (2014), An $L^{1}$ -type estimate for Riesz potentials, S2CID 55497245, arXiv:1411.2318, doi:10.4171/rmi/937.
Stein, Elias (1970), Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 0-691-08079-8, (requiere registro).
Samko, Stefan G. (1998), «A new approach to the inversion of the Riesz potential operator», Fractional Calculus and Applied Analysis 1 (3): 225-245, archivado desde el original el 22 de febrero de 2016, consultado el 27 de enero de 2023.

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[1] Samko, 1998, section II.