Primer ordinal infinito

La definición cobra sentido cuando se tiene en cuenta que un número ordinal se define como un conjunto, por ejemplo los primeros números ordinales se pueden concebir como conjuntos:

${\displaystyle 0=\varnothing ,\quad 1=\{\varnothing \},\quad 2=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},\quad 3=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}\dots }$

De hecho, un número ordinal es siempre un conjunto transitivo y bien ordenado, cualquier subconjunto a la vez es un elemento, por ejemplo en la serie anterior puede verse que:

${\displaystyle 0\in 1\in 2\in 3}$

Esto permite definir la relación de orden total entre números ordinales:

${\displaystyle \alpha <\beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha \in \beta }$

La construcción anterior para los primeros números naturales, repetida un número finito de veces siempre da lugar a un ordinal finito. Pero podemos concebir un conjunto transitivo y totalmente ordenado que no sea finito, por ejemplo podemos considerar una sucesión infinita no acotada:

${\displaystyle 0\in 1\in 2\in 3\in \dots \in n\in n+1\in n+2\in \dots \omega }$

El conjunto ${\displaystyle \omega }$ puede interpretarse como el propio ${\displaystyle \mathbb {N} }$, que es un conjunto totalmente ordenado y transitivo (si pensamos cada número natural como un conjunto de los números menores que él), por lo que podemos escribir ${\displaystyle \omega \sim \mathbb {N} }$. El axioma de infinitud formaliza esta idea al postular que existe un conjunto ${\displaystyle \omega }$ tal que:[1]

${\displaystyle \exists \omega \left[\exists x(\forall z\,\neg (z\in x)\land x\in \omega )\land \forall y(y\in \omega \Rightarrow S(y)\in \omega )\right].}$

donde ${\displaystyle S(y)=y\cup \{y\}}$ designa el sucesor de ${\displaystyle y}$. Puesto que la teoría de conjuntos axiomática de Zermelo-Fraenkel se postula que dicho conjunto existe, cualquier modelo de esos axiomas incluirá un conjunto con esa propiedad, que se puede identificar con los números naturales. Nótese que el conjunto ${\displaystyle \mathbb {N} }$ satisface las mismas propiedades que el ${\displaystyle \omega }$ del anterior axioma de infinitud si pensamos que cada número entero se definie a partir de sus ancesores como ${\displaystyle n=\{0,1,2,\dots ,n-1\}}$ y además ${\displaystyle 0=\varnothing }$ es el conjunto sin elementos.

• Paul Halmos (1960) Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company. Reprinted 1974 by Springer-Verlag. ISBN 0-387-90092-6.
• Jech, Thomas (2003), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium edición), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-44085-7, Zbl 1007.03002.
• Kenneth Kunen (1980) Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
• Hrbacek, Karel; Jech, Thomas (1999). Introduction to Set Theory (3 edición). Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7915-0.