Probabilidad condicionada

${\displaystyle P(A\mid B)}$ se puede interpretar como, tomando los casos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A.

Dado un espacio de probabilidad ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ y dos eventos (o sucesos) ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ con ${\displaystyle P(B)>0}$, la probabilidad condicional de A dado B está definida como:

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}$

Tomando los casos en los que B se cumple, ${\displaystyle P(A\mid B)}$ se puede interpretar como la parte en los que también se cumple A.

1. ${\displaystyle P(A\mid B)+P({\bar {A}}\mid B)=1}$
2. ${\displaystyle B\subseteq A\to P(A\mid B)=1}$.

Es decir, si todos los que tienen gripe siempre tienen dolor de cabeza, entonces la probabilidad de tener dolor de cabeza dado que tengo gripe es 1.

1. ${\displaystyle P(A)=P(A\mid B)\cdot P(B)+P(A\mid {\bar {B}})\cdot P({\bar {B}})}$

Dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y sólo si:

${\displaystyle P(A\cap B)\ =\ P(A)P(B).}$

O sea que si A y B son independientes, su probabilidad conjunta, ${\displaystyle P(A\cap B)}$ ó ${\displaystyle P(A,B),}$ puede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales. Equivalentemente:

${\displaystyle P(A|B)\ =\ P(A)}$

${\displaystyle P(B|A)\ =\ P(B).}$

En otras palabras, si A y B son independientes, la probabilidad condicional de A dado B es simplemente la probabilidad de A y viceversa.

Los conjuntos A y B no tienen intersección. Son mutuamente excluyentes.

Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si y solo si ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$. Entonces, ${\displaystyle P(A\cap B)=0}$.

Si además ${\displaystyle P(B)>0}$ entonces ${\displaystyle P(A\mid B)}$ es igual a 0.

La falacia de la probabilidad condicional se basa en asumir que P(A|B) es casi igual a P(B|A). El matemático John Allen Paulos analiza en su libro El hombre anumérico este error muy común cometido por personas que desconocen la probabilidad.

La verdadera relación entre P(A|B) y P(B|A) es la siguiente:

${\displaystyle P(B\mid A)=P(A\mid B)\cdot {\frac {P(B)}{P(A)}}}$ (Teorema de Bayes)

Pregunta: Me dicen que he dado positivo, ¿Qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?

La probabilidad de tener una enfermedad rara es de 0,001: ${\displaystyle P({\textrm {enfermo}})=0,001}$

La probabilidad de que cuando el paciente está enfermo se acierte en el diagnóstico es de 0,99: ${\displaystyle P({\textrm {positivo|enfermo}})=0,99}$

La probabilidad de falso positivo es de 0,05: ${\displaystyle P({\textrm {positivo|sano}})=0,05}$

${\displaystyle P({\textrm {enfermo|positivo}})={\frac {P({\textrm {enfermo}})\times P({\textrm {positivo|enfermo}})}{P({\textrm {positivo}})}}}$
${\displaystyle P({\textrm {enfermo|positivo}})=P({\textrm {enfermo}})\times {\frac {P({\textrm {positivo|enfermo}})}{P({\textrm {enfermo}})\times P({\textrm {positivo|enfermo}})+P({\textrm {sano}})\times P({\textrm {positivo|sano}})}}}$
${\displaystyle P({\textrm {enfermo|positivo}})={\frac {0,001\times 0,99}{0,001\times 0,99+0,999\times 0,05}}=0,019=1,9\%}$

• Epistemología bayesiana