Teoría de Sturm-Liouville

Cuando las condiciones de frontera son regulares de la forma

(2)${\displaystyle y(a)\cos \alpha -p(a)y^{\prime }(a)\sin \alpha =0}$

(3)${\displaystyle y(b)\cos \beta -p(b)y^{\prime }(b)\sin \beta =0}$

donde ${\displaystyle p(x)}$ es diferenciable, las funciones ${\displaystyle p(x),q(x),w(x)}$ son continuas y las funciones ${\displaystyle \ p(x),w(x)}$ son positivas sobre el intervalo ${\displaystyle [a,b]}$, y los valores ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ están en el intervalo ${\displaystyle [0,\pi ]}$ la teoría nos indica que

• Los valores propios ${\displaystyle \lambda _{n}}$ del problema de S-L, son valores reales y bien ordenados en el sentido de que ${\displaystyle \lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots \to \infty$ ;} .
• A cada valor propio ${\displaystyle \lambda _{n}}$ le corresponde una única función propia ${\displaystyle \ y_{n}(x)}$ que tiene exactamente ${\displaystyle \ n-1}$ ceros en la frontera ${\displaystyle \ (a,b)}$.
• Las funciones propias son mutuamente ortogonales y satisfacen la relación de ortogonalidad

(4)${\displaystyle \int _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)w(x)\,dx=0,m\neq n,}$

donde ${\displaystyle \ w(x)}$ es la función de peso.

• Un conjunto ortonormal puede ser formado si el conjunto de funciones propias satisface la relación de ortonormalidad:

(5)${\displaystyle \int _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)w(x)\,dx=\delta _{mn},}$

donde ${\displaystyle \ \delta _{mn}}$ es la delta de Kronecker.

• Los valores propios del problema de S-L pueden ser caracterizados por el cociente de Rayleigh

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {-p(x)y_{n}(x)y'_{n}(x)|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}[p(x)y'_{n}(x)^{2}+qy_{n}(x)^{2}]\,dx}{\int _{a}^{b}y_{n}(x)^{2}w(x)\,dx}}}$

.

La ecuación diferencial

${\displaystyle -{d \over dx}\left[p(x){d \over dx}y(x)\right]+q(x)y(x)=\lambda w(x)y(x)}$

se dice que es de la forma de S-L o de la forma autoadjunta. Toda ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden puede ser llevada a esta forma al multiplicarle un factor integrante apropiado.

El operador lineal:

(6)${\displaystyle Lu=-{d \over dx}\left[p(x){du \over dx}\right]+q(x)u}$

puede ser visto como la transformación de una función ${\displaystyle \ u}$ en otra función ${\displaystyle \ Lu}$. Se puede estudiar este operador lineal en el contexto del análisis funcional. Si ponemos ${\displaystyle \ w=1}$ en la ecuación (1), podemos escribirla:

(7)${\displaystyle Lu=\lambda u\,.}$

Este es precisamente un problema de valores propios; donde se trata de hallar valores propios λ y vectores propios ${\displaystyle \ u}$ del operador ${\displaystyle \ L}$. Sin embargo, también se debe incluir las condiciones de frontera. Como ejemplo se dirá que vamos a evaluar el problema en el intervalo ${\displaystyle \ [0,1]}$ y se pondrá las condiciones de frontera ${\displaystyle \ u(0)=u(1)=0}$.

La importancia de problemas de valores propios esta en el hecho que nos ayuda a resolver problemas asociados inhomogéneos:

${\displaystyle Lu=f\,}$

en el intervalo ${\displaystyle \ [0,1]}$

${\displaystyle u=0\,}$

en 0 y 1.

Aquí ${\displaystyle \ f}$ es la función en el espacio ${\displaystyle \ L^{2}}$. Si una solución ${\displaystyle \ u}$ existe y es única, se la puede escribir de la forma:

${\displaystyle u=Af\,}$

porque la transformación de ${\displaystyle \ f}$ a ${\displaystyle \ u}$ debe ser lineal. Ahora se observa que el hallar los vectores propios y los valores propios de ${\displaystyle \ A}$ es esencialmente lo mismo que hallar los vectores y valores propios de ${\displaystyle \ L}$. Efectivamente, si ${\displaystyle \ u}$ es un vector propio de ${\displaystyle \ L}$ con valores propios ${\displaystyle \lambda }$ debe existir un ${\displaystyle \ u}$ que también es vector propio de ${\displaystyle \ A}$ con valores propios ${\displaystyle {\frac {1}{u}}}$.

Se busca una función u(x) que resuelva el siguiente problema S-L:

(8)${\displaystyle Lu={\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=\lambda u}$

en donde las incógnitas son λ y u(x). Tomemos por ejemplo las condiciones de frontera

${\displaystyle u(0)=u(\pi )=0\,}$

y observemos que si k es cualquier entero, entonces la función

${\displaystyle u(x)=\operatorname {sen} kx\,}$

es una solución con valor propio λ = −k². Sabemos que las soluciones de un problema S-L forman una base ortogonal, y de la teoría de las series de Fourier sabemos que este conjunto de funciones sinusoidales es una base ortogonal. Dado que las bases ortogonales por definición son máximas, concluimos que este problema S-L no tiene más vectores propios.

Con base en esto resolvamos el problema inhomogéneo

${\displaystyle Lu=x\,}$

con ${\displaystyle x\in (0,\pi )}$ y con las mismas condiciones de frontera. En este caso debemos poner f(x) = x en formas de serie de Fourier. El lector puede verificar, sea integrando ∫exp(ikx)x dx o consultando una tabla de transformadas de Fourier, que

${\displaystyle Lu=\sum _{k=1}^{\infty }-2{\frac {(-1)^{k}}{k}}\sin kx.}$

Esta serie de Fourier es problemática por sus malas propiedades de convergencia: no está claro a priori si converge puntualmente. Por el hecho (de la teoría de análisis de Fourier) que los coeficientes son cuadrado-sumables, la serie converge en L², lo cual basta para la presente discusión. Mencionamos para el lector interesado que podemos aplicar un resultado que dice que la serie de Fourier converge en cada punto de diferenciabilidad, y en los puntos de salto (por ejemplo (la función x, considerada como función periódica, tiene un salto en n) converge al promedio de los límites izquierdo y derecho.

Por lo tanto, por la fórmula (8) obtenemos que la solución es

${\displaystyle u=\sum _{k=1}^{\infty }2{\frac {(-1)^{k}}{k^{3}}}\sin kx.}$

Podríamos haber encontrado la solución con antidiferenciación. Esta técnica da u=(x³-π²x)/6, cuya serie de Fourier concuerda con la solución que encontramos. La técnica de antidiferención generalmente no es útil para las ecuaciones diferenciales de varias variables.

Ciertas ecuaciones en derivadas parciales pueden resolverse con la ayuda de la teoría de S-L. Supongamos que nos interesan los modos de vibración de una membrana delgada, sostenida en un marco rectangular, 0≤x≤L₁, 0≤y≤L₂. El desplazamiento vertical W(x, y, t) de la membrana es gobernada por la ecuación de onda:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}W}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}W}{\partial y^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}W}{\partial t^{2}}}.}$

El método de separación de variables sugiere buscar primero soluciones de la forma sencilla W = X(x) × Y(y) × T(t). Para una tal función W la ecuación en derivadas parciales puede escribirse como X"/X + Y"/Y = (1/c²)T"/T. Dado que los tres términos de esta ecuación son funciones de x,y,t por separado, deben ser constantes. Por ejemplo, el primer término da X"=${\displaystyle \lambda }$X donde ${\displaystyle \lambda }$ es constante. Las condiciones de frontera ("sostenida en un marco rectangular") son W=0 cuando x=0, L₁ ó y = 0, L₂ lo cual define los problemas de S-L lo más sencillos posibles como en el ejemplo y dan las "soluciones de modos normales" para W con dependencia armónica del tiempo,

${\displaystyle W_{mn}(x,y,t)=A_{mn}\sin \left({\frac {m\pi x}{L_{1}}}\right)\sin \left({\frac {n\pi y}{L_{2}}}\right)\cos \left(\omega _{mn}t\right)}$

donde m,n son enteros no nulos, A_mn son constantes arbitrarias y

${\displaystyle \omega _{mn}^{2}=c^{2}\left({\frac {m^{2}\pi ^{2}}{L_{1}^{2}}}+{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L_{2}^{2}}}\right).}$

Las funciones W_mn forman una base del espacio de Hilbert de soluciones (generalizadas) de la ecuación de onda; eso es, una solución arbitraria W puede descomponerse como suma de estos modos, que vibran a frecuencias individuales ${\displaystyle \omega _{mn}}$. Esta representación puede requerir una suma infinita convergente.

Muchas de las propiedades de los operadores de S-L vienen del hecho de que estos son operadores hermíticos con respecto al producto interno:

${\displaystyle \langle u,v\rangle _{w}=\int _{a}^{b}w(x)u(x)v(x)dx.}$

Y así los valores propios de los operadores de S-L son reales y que las funciones propias corresponden a diferentes valores propios son ortogonales.

La ecuación de S-L (1) con condiciones de frontera puede resolverse en la práctica por una variedad de métodos numéricos. En casos difíciles puede ser necesario llevar a cabo los cálculos intermedios con varios cientos de dígitos decimales para lograr los autovalores correctamente a unas cuantas cifras.

1. Métodos de disparo.[1][2] Estos métodos funcionan adivinando un valor de λ, resolviendo un problema en valores iniciales definido por las condiciones de frontera en un extremo, digamos a, del intervalo [a,b], comparando el valor que esta solución toma en el otro extremo b con la otra condición de frontera deseada y finalmente aumentando o reduciendo λ según sea necesario para corregir el valor original. Esta estrategia no es aplicable para encontrar autovalores complejos.

2. Método de Diferencias Finitas.

3. El método de Series de Potencias del Parámetro Espectral[3] (SPPS por sus siglas en inglés) aplica una generalización del siguiente hecho sobre las ecuaciones en derivadas ordinarias de segundo orden: si y es una solución que no se anula en ningún punto de [a,b], entonces la función

${\displaystyle y(x)\int _{a}^{x}{\frac {dt}{p(t)y(t)^{2}}}}$

es una solución de la misma ecuación y es linealmente independiente de y. Además, todas las soluciones son combinaciones lineales de estas dos soluciones. En el algoritmo SPPS, uno debe comenzar con un valor arbitrario λ₀^* (a menudo λ₀^*=0; no tiene que ser un autovalor) y con cualquier solución y₀ de (1) con λ=λ₀^* la cual no se anule en [a,b]. (Discusión abajo sobre maneras de encontrar y₀ y λ₀^* apropiados.) Dos sucesiones de funciones X⁽ⁿ⁾(t), X^~(n)(t) en [a,b], que se llamarán integrales iteradas, se definen de manera recursiva como sigue. Primero, cuando n=0, se toman iguales a 1 idénticamente en [a,b]. Para obtener las siguientes funciones se multiplican alternativamente por 1/(p'y₀²) y w'y₀² y luego se integran, específicamente

(9)${\displaystyle X^{(n)}(t)=-\int _{a}^{x}X^{(n-1)}(t)p(t)^{-1}y_{0}(t)^{-2}\,dt}$ para n impar, ${\displaystyle \int _{a}^{x}X^{(n-1)}(t)y_{0}(t)^{2}w(t)\,dt}$ para n par,

(10)${\displaystyle {\tilde {X}}^{(n)}(t)=\int _{a}^{x}{\tilde {X}}^{(n-1)}(t)y_{0}(t)^{2}w(t)\,dt}$ para n impar, ${\displaystyle -\int _{a}^{x}{\tilde {X}}^{(n-1)}(t)p(t)^{-1}y_{0}(t)^{-2}\,dt}$ para n par,

cuando n>0. Las integrales iteradas así obtenidas se aplican ahora como coeficientes en las dos siguientes series de potencias en λ:

${\displaystyle u_{0}=y_{0}\sum _{k=0}^{\infty }(\lambda -\lambda _{0}^{*})^{k}{\tilde {X}}^{(2k)}}$ y ${\displaystyle u_{1}=y_{0}\sum _{k=0}^{\infty }(\lambda -\lambda _{0}^{*})^{k}X^{(2k+1)}}$ .

Entonces para cualquier λ (real o complejo), u₀ y u₁ son soluciones linealmente dependientes de la ecuación (1) correspondiente. (Las funciones p(x) y q(x) participan en esta construcción de forma implícita por su influencia en la elección de y₀.)

Ahora se escogen coeficientes c₀, c₁ de manera que la combinación y=c₀u₀ + c₁u₁ satisfaga la primera condición de frontera (2). Esto es fácil de hacer porque X⁽ⁿ⁾(a)=0 y X^~(n)(a)=0, para n>0. Los valores de X⁽ⁿ⁾(b) y X^~(n)(b) dan los valores de u₀(b) y u₁(b) y de las derivadas u₀'(b) y u₁'(b), entonces la segunda condición de frontera (3) se convierte en una serie de potencias en λ. Para el trabajo numérico uno puede truncar esta serie a un número finito de términos y obtener un polinomio en λ calculable, cuyas raíces son aproximaciones de los autovalores que se buscan.

Cuando λ= λ₀, esto se reduce a la construcción original descrita arriba para una solución linealmente independiente a una dada. Las representaciones (9),(10) también tienen aplicaciones teóricas en la teoría de S-L.[3]

• Ecuación diferencial ordinaria
• Modo normal
• Operador (matemáticas)
• Operador hermítico