Problema del círculo de Gauss

Considérese un círculo en R² con centro en el origen y radio r ≥ 0. el problema del círculo de Gauss pregunta cuántos puntos de la forma (m,n) hay dentro del círculo, donde m y n son ambos enteros. Puesto que la ecuación de este círculo está dada en coordenadas cartesianas por x² + y² = r², la cuestión es equivalente a preguntar cuántos pares de enteros m y n hay, tales que

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.}$

Si la respuesta dada para r se denota por N(r), entonces la siguiente lista muestra unos pocos valores de N(r) para r entero entre 0 y 10:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317 (sucesión A000328 en OEIS).

El área de un círculo de radio r viene dada por πr², y puesto que un cuadrado de área 1 en R² contiene un punto entero solamente, la respuesta esperada al problema podría ser sobre πr². De hecho, podría ser ligeramente mayor que eso, puesto que los círculos son más eficientes al encerrar espacios que los cuadrados. Así que, en efecto, se podría esperar que

${\displaystyle N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,}$

para algún término de E(r). El encontrar un límite superior correcto para E(r) es pues, la forma que ha tomado el problema.

Gauss logró demostrar que[1] que

${\displaystyle E(r)\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.}$

Hardy[2] e, independientemente, Landau encontraron un límite inferior al mostrar que

${\displaystyle E(r)\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),}$

usando la notación o minúscula. Se conjetura que el correcto valor del límite es[3]

${\displaystyle E(r)=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).}$

Escribiendo |E(r)| ≤ Cr^t, los actuales límites en t son

${\displaystyle {\frac {1}{2}}<t\leq {\frac {131}{208}}=0.6298\ldots ,}$

con el límite inferior de Hardy y Landau de 1915, y el límite superior demostrado por Huxley en el año 2000.[4]

En 2007, Sylvain Cappell y Julius Shaneson publicaron un artículo en arXiv asegurando demostrar el límite de O(r^1/2+ε).[5] Kannan Soundararajan reseñó haber encontrado un error en la demostración.

El valor de N(r) puede ser dado mediante varias series. En términos de una suma que hace uso de la función piso, se puede expresar como:[6]

${\displaystyle N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).}$

Definiendo la función suma de cuadrados r₂(n) como el número de maneras de escribir el número n como la suma de dos cuadrados, encontramos una suma más sencilla:[1]

${\displaystyle N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n).}$

Aunque el problema original pregunta por el retículo de puntos enteros en un círculo, no hay razón para no considerar otras formas o cónicas, de hecho, el problema del divisor de Dirichlet es el problema equivalente, donde el círculo es reemplazado por la hipérbola rectangular.[3] Similarmente, se podría extender la cuestión en dos dimensiones a dimensiones mayores (A00605 en 3, A055410 en 4, A055411 en 5, A005412 etc. en 6 y superiores), preguntándose por puntos enteros dentro de una esfera u otros objetos. Si se ignora la geometría y meramente se le considera un problema algebraico de inecuaciones diofánticas, entonces se podría incrementar los exponentes que aparecen en el problema de cuadrados a cubos o mayores.

• Weisstein, Eric W. «Gauss's circle problem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.