Contraste de hipótesis

Si sospechamos que una moneda ha sido trucada para que se produzcan más caras que cruces al lanzarla al aire, podríamos realizar 30 lanzamientos, tomando nota del número de caras obtenidas. Si obtenemos un valor demasiado alto, por ejemplo 25 o más, consideraríamos que el resultado es poco compatible con la hipótesis de que la moneda no está trucada, y concluiríamos que las observaciones contradicen dicha hipótesis.

La aplicación de cálculos probabilísticos permite determinar a partir de qué valor debemos rechazar la hipótesis garantizando que la probabilidad de cometer un error es un valor conocido a priori. Las hipótesis pueden clasificarse en dos grupos, según:

1. Especifiquen un valor concreto o un intervalo para los parámetros del modelo.
2. Determinen el tipo de distribución de probabilidad que ha generado los datos.

Un ejemplo del primer grupo es la hipótesis de que la media de una variable es 10, y del segundo que la distribución de probabilidad es la distribución normal.

Aunque la metodología para realizar el contraste de hipótesis es análoga en ambos casos, distinguir ambos tipos de hipótesis es importante puesto que muchos problemas de contraste de hipótesis respecto a un parámetro son, en realidad, problemas de estimación, que tienen una respuesta complementaria dando un intervalo de confianza (o conjunto de intervalos de confianza) para dicho parámetro. Sin embargo, las hipótesis respecto a la forma de la distribución se suelen utilizar para validar un modelo estadístico para un fenómeno aleatorio que se está estudiando.

Se denomina hipótesis nula ${\displaystyle H_{0}\,}$ a la hipótesis que se desea contrastar. El nombre de "nula" significa “sin valor, efecto o consecuencia”, lo cual sugiere que ${\displaystyle H_{0}\,}$ debe identificarse con la hipótesis de no cambio (a partir de la opinión actual); no diferencia, no mejora, etc. ${\displaystyle H_{0}\,}$ representa la hipótesis que mantendremos a no ser que los datos indiquen su falsedad, y puede entenderse, por tanto, en el sentido de “neutra”. La hipótesis ${\displaystyle H_{0}\,}$ nunca se considera probada, aunque puede ser rechazada por los datos. Por ejemplo, la hipótesis de que dos poblaciones tienen la misma media puede ser rechazada fácilmente cuando ambas difieren mucho, analizando muestras suficientemente grandes de ambas poblaciones, pero no puede ser "demostrada" mediante muestreo, puesto que siempre cabe la posibilidad de que las medias difieran en una cantidad ${\displaystyle \delta }$ lo suficientemente pequeña para que no pueda ser detectada, aunque la muestra sea muy grande.

A partir de una muestra de la población en estudio, se extrae un estadístico (esto es, un valor que es función de la muestra) cuya distribución de probabilidad esté relacionada con la hipótesis en estudio y sea conocida. Se toma entonces como región de rechazo al conjunto de valores que es más improbable bajo la hipótesis, esto es, el conjunto de valores para el que rechazaremos la hipótesis nula si el valor del estadístico observado entra dentro de él.

La probabilidad de que se obtenga un valor del estadístico que entre en la región de rechazo aun siendo cierta la hipótesis puede calcularse. De esta manera, se puede escoger dicha región de tal forma que la probabilidad de cometer este error sea suficientemente pequeña.

Siguiendo con el anterior ejemplo de la moneda trucada, la muestra de la población es el conjunto de los treinta lanzamientos a realizar, el estadístico escogido es el número total de caras obtenidas, y la región de rechazo está constituida por los números totales de caras iguales o superiores a 25. La probabilidad de cometer el error de admitir que la moneda está trucada a pesar de que no lo está es igual a la probabilidad binomial de tener 25 "éxitos" o más en una serie de 30 ensayos de Bernoulli con probabilidad de "éxito" 0,5 en cada uno, entonces: 0,0002, pues existe la posibilidad, aunque poco probable, que la muestra nos dé más de 25 caras sin haber sido la moneda trucada.

Un procedimiento de prueba es una regla con base en datos muestrales, para determinar si se rechaza ${\displaystyle H_{0}\,}$.

Ejemplo

Una prueba de ${\displaystyle H_{0}\,}$: p = 0.10 contra ${\displaystyle H_{1}\,}$: p < 0.10, podría estar basada en el examen de una muestra aleatoria de n = 200 objetos. Representamos con X el número de objetos defectuosos de la muestra, una variable aleatoria binomial; x representa el valor observado de X. Si ${\displaystyle H_{0}\,}$ es verdadera, E(X) = np = 200*(0.10) = 20, mientras, podemos esperar menos de 20 objetos defectuosos si ${\displaystyle H_{1}\,}$ es verdadera. Un valor de x ligeramente debajo de 20 no contradice de manera contundente a ${\displaystyle H_{0}\,}$ así que es razonable rechazar ${\displaystyle H_{0}\,}$ solo si x es considerablemente menor que 20. Un procedimiento de prueba es rechazar ${\displaystyle H_{0}\,}$ si x≤15 y no rechazar ${\displaystyle H_{0}\,}$ de otra forma. En este caso, la región de rechazo está formada por x = 0, 1, 2, …, y 15. ${\displaystyle H_{0}\,}$ no será rechazada si x= 16, 17,…, 199 o 200.

Un procedimiento de prueba se especifica por lo siguiente:

1. Un estadístico de prueba: una función de los datos muestrales en los cuales se basa la decisión de rechazar ${\displaystyle H_{0}\,}$ o no rechazar ${\displaystyle H_{0}\,}$.
2. Una región de rechazo, el conjunto de todos los valores del estadístico de prueba para los cuales ${\displaystyle H_{0}\,}$ será rechazada.

Entonces, la hipótesis nula será rechazada si y solo si el valor observado o calculado del estadístico de prueba se ubica en la región de rechazo

En el mejor de los casos podrían desarrollarse procedimientos de prueba para los cuales ningún tipo de error es posible. Pero esto puede alcanzarse solo si una decisión se basa en un examen de toda la población, lo que casi nunca es práctico. La dificultad al usar un procedimiento basado en datos muestrales es que debido a la variabilidad en el muestreo puede resultar una muestra no representativa.

Un buen procedimiento es aquel para el cual la probabilidad de cometer cualquier tipo de error es pequeña. La elección de un valor particular de corte de la región de rechazo fija las probabilidades de errores tipo I y II. Estas probabilidades de error son representadas por α y β, respectivamente.

El enfoque actual considera siempre una hipótesis alternativa a la hipótesis nula. De manera explícita o implícita, la hipótesis nula, a la que se denota habitualmente por ${\displaystyle H_{0}\,}$, se enfrenta a otra hipótesis que denominaremos hipótesis alternativa y que se denota ${\displaystyle H_{1}\,}$. En los casos en los que no se especifica ${\displaystyle H_{1}\,}$ de manera explícita, podemos considerar que ha quedado definida implícitamente como “${\displaystyle H_{0}\,}$ es falsa”.

Si por ejemplo deseamos comprobar la hipótesis de que dos distribuciones tienen la misma media, estamos implícitamente considerando como hipótesis alternativa “ambas poblaciones tienen distinta media”. Podemos, sin embargo considerar casos en los que ${\displaystyle H_{1}\,}$ no es la simple negación de ${\displaystyle H_{0}\,}$. Supongamos por ejemplo que sospechamos que en un juego de azar con un dado, este está trucado para obtener 6. Nuestra hipótesis nula podría ser “el dado no está trucado” que intentaremos contrastar, a partir de una muestra de lanzamientos realizados, contra la hipótesis alternativa “el dado ha sido trucado a favor del 6”. Cabría realizar otras hipótesis, pero, a los efectos del estudio que se pretende realizar, no se consideran relevantes.

Un test de hipótesis se entiende, en el enfoque moderno, como una función de la muestra, corrientemente basada en un estadístico. Supongamos que se tiene una muestra ${\displaystyle X=\left(X_{1},X_{2},...X_{n}\right)^{t}}$ de una población en estudio y que se han formulado hipótesis sobre un parámetro ${\displaystyle \theta }$ relacionado con la distribución estadística de la población. Supongamos que se dispone de un estadístico ${\displaystyle T(X)}$ cuya distribución con respecto a ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle F_{\theta }(t)\,}$ se conoce. Supongamos, también, que las hipótesis nula y alternativa tienen la formulación siguiente:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}H_{0}:\;\theta \in \Theta _{0}\\H_{1}:\;\theta \in \Theta _{1}\end{matrix}}\right.}$

Un contraste, prueba o test para dichas hipótesis sería una función de la muestra de la siguiente forma:

${\displaystyle \phi (X)=\left\{{\begin{matrix}1\;{\mbox{si }}T(X)\in \Omega \\0\;{\mbox{si }}T(X)\notin \Omega \\\end{matrix}}\right.}$

Donde ${\displaystyle \phi (X)=1\,}$ significa que debemos rechazar la hipótesis nula, ${\displaystyle H_{0}\,}$ (aceptar ${\displaystyle H_{1}\,}$) y ${\displaystyle \phi (X)=0\,}$, que debemos aceptar ${\displaystyle H_{0}\,}$ (o que no hay evidencia estadística contra ${\displaystyle H_{0}\,}$). A ${\displaystyle \Omega }$ se la denomina región de rechazo. En esencia, para construir el test deseado, basta con escoger el estadístico del contraste ${\displaystyle T(X)}$ y la región de rechazo ${\displaystyle \Omega }$.

Se escoge ${\displaystyle \Omega }$ de tal manera que la probabilidad de que T(X) caiga en su interior sea baja cuando se da ${\displaystyle H_{0}\,}$.

Un contraste de hipótesis se construye habitualmente a partir de un estadístico muestral que resume la información de los datos observados en un valor que permite decidir si rechazar la hipótesis nula.

La propiedad más importante de un estadístico usado para realizar un contraste de hipótesis es que su distribución muestral bajo la hipótesis nula debe ser calculable, ya sea de forma exacta o aproximada. Se decide rechazar la hipótesis nula en cuando el valor que toma el estadístico es un valor que sería muy raro observar si la hipótesis nula fuese cierta. Esto suele ser expresado como que el valor supere un cierto umbral fijado a priori gracias al conocimiento de la distribución del estadístico.

Véase el artículo principal para ejemplos de estos estadísticos.

Una vez realizado el contraste de hipótesis, se habrá optado por una de las dos hipótesis, ${\displaystyle H_{0}\,}$ o ${\displaystyle H_{1}\,}$, y la decisión escogida coincidirá o no con la que en realidad es cierta. Se pueden dar los cuatro casos que se exponen en el siguiente cuadro:

	${\displaystyle H_{0}\,}$ es cierta	${\displaystyle H_{1}\,}$ es cierta
Se escogió ${\displaystyle H_{0}\,}$	No hay error	Error de tipo II
Se escogió ${\displaystyle H_{1}\,}$	Error de tipo I	No hay error

Si la probabilidad de cometer un error de tipo I está unívocamente determinada, su valor se suele denotar por la letra griega α, y en las mismas condiciones, se denota por β la probabilidad de cometer el error de tipo II, esto es:

${\displaystyle {\begin{matrix}P({\mbox{escoger }}H_{1}|H_{0}{\mbox{ es cierta}})=\alpha \\P({\mbox{escoger }}H_{0}|H_{1}{\mbox{ es cierta}})=\beta \end{matrix}}}$

En este caso, se denomina Potencia del contraste al valor 1-β, esto es, a la probabilidad de escoger ${\displaystyle H_{1}\,}$ cuando ésta es cierta

${\displaystyle P({\mbox{escoger }}H_{1}|H_{1}{\mbox{ es cierta}})=1-\beta \,}$.

Cuando es necesario diseñar un contraste de hipótesis, sería deseable hacerlo de tal manera que las probabilidades de ambos tipos de error fueran tan pequeñas como fuera posible. Sin embargo, con una muestra de tamaño prefijado, disminuir la probabilidad del error de tipo I, α, conduce a incrementar la probabilidad del error de tipo II, β.

Usualmente, se diseñan los contrastes de tal manera que la probabilidad α sea el 5% (0,05), aunque a veces se usan el 10% (0,1) o 1% (0,01) para adoptar condiciones más relajadas o más estrictas. El recurso para aumentar la potencia del contraste, esto es, disminuir β, probabilidad de error de tipo II, es aumentar el tamaño muestral, lo que en la práctica conlleva un incremento de los costes del estudio que se quiere realizar.

Los contrastes de hipótesis, como la inferencia estadística en general, son herramientas de amplio uso en la ciencia en general. En particular, la moderna Filosofía de la ciencia desarrolla el concepto de falsabilidad de las teorías científicas basándose en los conceptos de la inferencia estadística en general y de los contrastes de hipótesis. En este contexto, cuando se desea optar entre dos posibles teorías científicas para un mismo fenómeno (dos hipótesis) se debe realizar un contraste estadístico a partir de los datos disponibles sobre el fenómeno que permitan optar por una u otra.

Las técnicas de contraste de hipótesis son también de amplia aplicación en muchos otros casos, como ensayos clínicos de nuevos medicamentos, control de calidad, encuestas, etcétera.

Fisher fue el primero en proponer un método de contraste de hipótesis, utilizando una sola hipótesis nula Ho que se intenta refutar. Posteriormente Neyman y Pearson publicaron sus propios métodos de contrastes de hipótesis introduciendo una hipótesis alternativa, en principio complementaria y excluyente. Ambos problemas son distintos en naturaleza pero fueron considerados por sus autores respectivos como el enfoque correcto al contraste de hipótesis, llevando a una confrontación entre ellos que dura hasta hoy en día por los partidarios de cada teoría.[1]

• Errores de tipo I y de tipo II
• Estadística
• Estadístico muestral
• Falso negativo
• Falso positivo
• Intervalo de confianza
• Muestreo estadístico
• Prueba de Kolmogórov-Smirnov
• Prueba de χ² (Chi-cuadrado)
• Test de la t de Student o t-test
• Significación estadística
• Diseño experimental

• Inferencia estadística, apuntes del Departamento de Matemáticas de la Universidad de La Coruña
• HESTADIS - Cálculo del contraste de hipótesis para la media con varianza poblacional conocida (gratuito)
• Carlos Reynoso - Atolladeros del pensamiento aleatorio: Batallas en torno de la prueba estadística.