Rango (matemáticas)

Como el término rango puede tener diferentes significados, se considera una buena práctica definirlo la primera vez que se usa en un libro de texto o artículo.

Los libros antiguos, cuando usan la palabra rango, tienden a usarlo para referirse a lo que ahora se llama codominio.[1][2] Los libros más modernos, si usan la palabra rango, generalmente la usan para referirse a lo que ahora se llama imagen.[3] Para evitar confusiones, varios libros modernos no usan la palabra rango en absoluto.[4]

Como ejemplo de los dos usos diferentes, considérese la función ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ tal como se usa en análisis real, es decir, como una función opera sobre un número real y genera su cuadrado. En este caso, su codominio es el conjunto de números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$, pero su imagen es el conjunto de números reales no negativos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$, ya que ${\displaystyle x^{2}}$ nunca es negativo si ${\displaystyle x}$ es real. Para esta función, si se usa el término rango para referirnos a "codominio", se refiere a ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Cuando se usa rango para significar "imagen", se refiere a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$.

Como un ejemplo donde el rango es igual al condominio, considérese la función ${\displaystyle f(x)=2x}$, que opera sobre un número real y calcula su valor doble. Para esta función, el condominio y la imagen son los mismos (la función es sobreyectiva), por lo que la palabra rango no es ambigua; es el conjunto de todos los números reales.

Cuando rango se usa para significar codominio, la imagen de una función f ya está implícitamente definida. Es (por definición de imagen) el subconjunto (quizás trivial) del rango que es igual a {y | existe un x en el dominio de f tal que y = f (x)}.

Cuando rango se usa para significar imagen, el rango de una función f es por definición {y | existe un x en el dominio de f tal que y = f (x)}. En este caso, el codominio de f no se debe especificar, porque cualquier codominio que contenga esta imagen como un subconjunto (quizás trivial) satisfará la condición.

En ambos casos, la imagen f ⊆ rango f ⊆ codominio f, con al menos una de las inclusiones siendo una equivalencia.

• Biyeción, inyección y sobreyección
• Codominio
• Conjunto imagen
• Teoría informal de conjuntos

• Childs (2009). A Concrete Introduction to Higher Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd edición). Springer. ISBN 978-0-387-74527-5. OCLC 173498962.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd edición). Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. OCLC 52559229.
• Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra. Graduate Texts in Mathematics 73. Springer. ISBN 0-387-90518-9. OCLC 703268.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (2nd edición). McGraw Hill. ISBN 0-07-054236-8.