Reciprocidad (ciencia de redes)

Una forma tradicional de definir la reciprocidad r es usando la proporción de número de enlaces que apuntan en ambas direcciones ${\displaystyle L^{<->}}$ en el número total de enlaces L:[5]

${\displaystyle r={\frac {L^{<->}}{L}}}$

Con esta definición, ${\displaystyle r=1}$ para una red puramente bidireccional, mientras que ${\displaystyle r=0}$ para una puramente unidireccional. En general. En general las redes reales tienen un valor intermedio entre 0 y 1.

Sin embargo, esta definición de reciprocidad tiene algunos defectos. No puede distinguir la diferencia relativa de reciprocidad en comparación con una red puramente aleatoria con el mismo número de vértices y aristas. La información útil de la reciprocidad no es el valor en sí mismo, sino si los vínculos mutuos ocurren más o menos a menudo de lo que se espera por azar. Además, en las redes que contienen auto-bucles (enlaces que empiezan y terminan en el mismo vértice), estos deben excluirse al calcular L.

Para superar los defectos de la definición anterior, Garlaschelli y Loffredo definieron la reciprocidad como el coeficiente de correlación entre las entradas de la matriz de adyacencia de un grafo dirigido (${\displaystyle a_{ij}=1}$ si hay una arista entre i y j, y ${\displaystyle a_{ij}=0}$ si no):

${\displaystyle \rho \equiv {\frac {\sum _{i\neq j}(a_{ij}-{\bar {a}})(a_{ji}-{\bar {a}})}{\sum _{i\neq j}(a_{ij}-{\bar {a}})^{2}}}}$,

donde el valor promedio ${\displaystyle {\bar {a}}\equiv {\frac {\sum _{i\neq j}a_{ij}}{N(N-1)}}={\frac {L}{N(N-1)}}}$.

${\displaystyle {\bar {a}}}$ mide la proporción de enlaces observados y los posibles enlaces dirigidos (densidad de enlaces), donde los auto-bucles se excluyen ahora de L.

La definición puede ser escrita en la siguiente forma:

${\displaystyle \rho ={\frac {r-{\bar {a}}}{1-{\bar {a}}}}}$.

Esta definición de reciprocidad permite distinguir directamente entre redes recíprocas (${\displaystyle \rho >0}$) y anti-recíprocas (${\displaystyle \rho <0}$), con enlaces mutuos más y menos frecuentes que al azar respectivamente.

Si todos los enlaces se producen en pares recíprocos, entonces ${\displaystyle \rho =1}$; si r=0, entonces ${\displaystyle \rho =\rho _{min}}$con ${\displaystyle \rho _{min}\equiv {\frac {-{\bar {a}}}{1-{\bar {a}}}}}$

Esta es otra ventaja de usar ${\displaystyle \rho }$, ya incorpora la idea de que el anti-recíproco completo es más significativo estadísticamente en las redes con mayor densidad, mientras que debe considerarse como un efecto menos pronunciado en las redes ralas (con menos enlaces).

La reciprocidad fue analizada en algunas redes sociales reales por Gallos.[6]