Red compleja

En el contexto de la ciencia de redes,[1] una red compleja se refiere a una red (modelada como grafo) que posee ciertas propiedades estadísticas y topológicas no triviales que no ocurren en redes simples; p.e., distribuciones de grado que siguen leyes de potencia, estructuras jerárquicas, estructuras comunitarias, longitud entre cualesquiera dos entes del sistema corto, o alta cohesividad local (medida a través del coeficiente de agrupamiento). Ejemplo de redes con tales características en la naturaleza son las redes sociales,[2] las redes neuronales, las redes de tráfico aéreo y las redes tróficas, entre muchas otras.

Red de co-aparición de los personajes de la novela Les Miserables de Victor Hugo

Definición matemática de red

Una red[3] o grafo $R=({\mathcal {N}},{\mathcal {E}})$ se define por un conjunto ${\mathcal {N}}={\mathcal {N}}(R)$ de elementos llamados nodos o vértices y otro conjunto, ${\mathcal {E}}={\mathcal {E}}(R)\subset {\mathcal {N}}\times {\mathcal {N}}$ de elementos denominados enlaces o aristas. Cada enlace corresponde a un par no-ordenado $\{i,j\}$ de nodos. Si consideramos los enlaces como pares ordenados, diremos que $R$ es una red dirigida o grafo dirigido. Si cada enlace $\{i,j\}$ tiene asignado un valor numérico $w_{ij}$ , diremos que la red es ponderada y el valor $w_{ij}$ será llamado peso o ponderación del enlace $\{i,j\}$ .

Conceptos básicos en redes

Dos nodos $i,j$ de una red se dicen adyacentes si estos están conectados por un enlace. Se dirá que un enlace es incidente en un nodo $i$ si dicho enlace es de la forma $\{i,j\}$ para algún $j$ en ${\mathcal {N}}(R)$ . El vecindario de $i$ , generalmente denotado por $V(i)$ , se define como el conjunto de los $j\in {\mathcal {N}}(R)$ tales que $\{i,j\}\in {\mathcal {E}}(R)$ . El conjunto $V^{+}(i)=V(i)\cup \{i\}$ será llamado vecindario inclusivo de $i$ .

Definición de subred

Si ${\mathcal {N}}'\subseteq {\mathcal {N}}$ y ${\mathcal {E}}'\subseteq {\mathcal {N}}'\times {\mathcal {N}}'$ tal que ${\mathcal {E}}'\subseteq {\mathcal {E}}$ , se dice que el par $R'=({\mathcal {N}}',{\mathcal {E}}')$ es una subred (o subgrafo) de $R=({\mathcal {N}},{\mathcal {E}})$ . Si ${\mathcal {E}}'=({\mathcal {N}}'\times {\mathcal {N}}')\cap {\mathcal {E}}$ diremos que $R'$ es la sub-red inducida por ${\mathcal {N}}'$ .

k-Clique o k- red completa

Un $k-$ {clique} (o $k-$ {red completa}), denotada por $K_{n}$ , es una red en la que todo par de nodos $i,j\in {\mathcal {N}}(K_{n})$ esta conectado por un enlace en ${\mathcal {E}}(K_{n})$ . Un clique $C\subseteq R$ se dice maximal si no puede agregarse otro nodo a $R$ sin que este deje de ser un clique en $R$ .

Redes bipartitas

Red Bipartita. Los colores rojo y azul simbolizan las dos clases nodales. Obsérvese que no hay enlaces entre nodos de un mismo color.

Básicamente, en este tipo de redes el conjunto de nodos ${\mathcal {N}}$ puede escribirse como la unión disjunta de dos conjuntos ${\mathcal {N}}_{1}$ y ${\mathcal {N}}_{2}$ de manera que en la red no hay enlaces de la forma $\{i,j\}\in {\mathcal {E}}$ con $i\in {\mathcal {N}}_{1}$ y $j\in {\mathcal {N}}_{2}$ . En la figura puede verse un ejemplo de este tipo de redes.

Matriz de adyacencia

La matriz de adyacencia $A$ de una red $R$ es una matriz de $n\times n$ tal que

$A_{ij}=\left\{{\begin{array}{c l}1&{\text{ si }}\{i,j\}\in {\mathcal {E}}(R)\\0&{\text{ en caso contrario.}}\end{array}}\right.$

Esta matriz nos permite representar de manera algebraica la estructura de red.

Referencias

Newman, M.E.J. (2010). Networks : an introduction (Repr. with corr. edición). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199206650.
Faust, Stanley Wasserman; Katherine (1999). Social network analysis : methods and applications (Reprint. edición). Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Press. ISBN 978-0521387071.
Alvarez-Socorro, A.J. (2012). Estructuras Comunitarias en Redes Complejas. Caracas, Venezuela: Tesis de Maestría, IVIC.

Datos: Q665189
Multimedia: Complex networks / Q665189

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[1] Newman, M.E.J. (2010). Networks : an introduction (Repr. with corr. edición). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199206650.

[2] Faust, Stanley Wasserman; Katherine (1999). Social network analysis : methods and applications (Reprint. edición). Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Press. ISBN 978-0521387071.

[Tesis_IVIC-3] Alvarez-Socorro, A.J. (2012). Estructuras Comunitarias en Redes Complejas. Caracas, Venezuela: Tesis de Maestría, IVIC.