Rectas que se cruzan

Dadas las rectas g y h, de ecuaciones paramétricas:

${\displaystyle g:{\vec {x}}=a+r{\vec {v}}}$

${\displaystyle h:{\vec {x}}=b+s{\vec {w}}\ \ \,r,s\in \mathbb {R} }$

donde ${\displaystyle r,s\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {\vec {v}}}$ y ${\displaystyle {\vec {w}}}$ son vectores directores y ${\displaystyle a,b\in E}$

Los tres vectores ${\displaystyle a-b,{\vec {v}},{\vec {w}}}$ son linealmente independientes.

El vector normal ${\displaystyle {\vec {n}}}$ perpendicular a los dos vectores de dirección ${\displaystyle {\vec {v}}}$ y ${\displaystyle {\vec {w}}}$ se puede calcular a partir de su producto vectorial:

${\displaystyle {\vec {n}}={\vec {v}}\times {\vec {w}}}$ y dejarlo de longitud unitaria: ${\displaystyle {\vec {n}}_{0}={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {w}}}{|{\vec {v}}\times {\vec {w}}|}}}$.

Entonces, la distancia entre ambas rectas se puede calcular como la proyección de cualquier segmento con extremos en ambas rectas, sobre dicho vector normal. En particular, podemos usar los puntos A y B:

${\displaystyle d(g,h)=|(a-b)\cdot {\vec {n}}_{0}|.}$