Regla del trapecio

Para realizar la aproximación por esta regla es necesario usar un polinomio de primer orden, y esta es representada por:

${\displaystyle P_{1}(x)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)}$

Entonces al sustituir en la integral tenemos lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \int _{a}^{b}P_{1}(x)\,dx\\&\approx \int _{a}^{b}\left[f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\right]\,dx\end{aligned}}}$

Por último al resolver esa integral nos queda:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}}$

Ilustración de la regla del trapecio compuesta

La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que ${\displaystyle f}$ es continua y positiva en el intervalo ${\displaystyle [a,b]}$. De tal modo la integral definida ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ representa el área de la región delimitada por la gráfica de ${\displaystyle f}$ y el eje ${\displaystyle Ox}$, desde ${\displaystyle x=a}$ hasta ${\displaystyle x=b}$. Primero se divide el intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ en ${\displaystyle n}$ subintervalos, cada uno de ancho ${\displaystyle \Delta x=(b-a)/n}$.

Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\sim {\frac {h}{2}}[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]}$

Donde ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$ y ${\displaystyle n}$ es el número de divisiones.

La expresión anterior también se puede escribir como:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\sim {\frac {b-a}{n}}\left[{\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right]}$

El error en esta aproximación se corresponde con :

${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{3}}{12n^{2}}}\,f''(\xi )}$

Siendo n el número de subintervalos

• Regla de Simpson
• Fórmulas de Newton–Cotes

• Hostetler Edwards, Larson: Cálculo I (Octava edición)
• Wikisource contiene obras originales sobre la Generalización de la fórmula de Simpson. (La regla de los trapecios como caso particular de la generalización de la regla de Simpson)