Relleno con círculos de un triángulo equilátero

El relleno con círculos de un triángulo equilátero es un problema de empaquetado estudiado en matemáticas discretas. Consiste en acomodar n círculos de radio unidad en el triángulo equilátero más pequeño posible.

Soluciones

Se conocen las soluciones óptimas para n < 13 y para cualquier número triangular de círculos, y en los años 1990 se formularon conjeturas para n < 28.[1][2][3]

Una conjetura de Paul Erdős y Norman Oler indica que, si $n$ es un número triangular, entonces los empaquetamientos óptimos de los $n - 1$ y de los $n$ círculos tienen la misma longitud lateral: es decir, según la conjetura, se puede encontrar un empaquetamiento óptimo para $n - 1$ círculos eliminando cualquier círculo individual del empaquetamiento hexagonal óptimo para $n$ círculos.[4] Esta conjetura ahora se sabe que es verdadera para $n \leq 15$ .[5]

Soluciones mínimas y su longitud del lado del triángulo asociado para círculos de radio uno:[1]

Número de círculos	Número triangular	Longitud	Área
1	Sí	$2{\sqrt {3}}$ = 3.464...	5.196...
2	No	$2+2{\sqrt {3}}$ = 5.464...	12.928...
3	Sí	$2+2{\sqrt {3}}$ = 5.464...	12.928...
4	No	$4{\sqrt {3}}$ = 6.928...	20.784...
5	No	$4+2{\sqrt {3}}$ = 7.464...	24.124...
6	Sí	$4+2{\sqrt {3}}$ = 7.464...	24.124...
7	No	$2+4{\sqrt {3}}$ = 8.928...	34.516...
8	No	$2+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {33}}$ = 9.293...	37.401...
9	No	$6+2{\sqrt {3}}$ = 9.464...	38.784...
10	Sí	$6+2{\sqrt {3}}$ = 9.464...	38.784...
11	No	$4+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {4}{3}}{\sqrt {6}}$ = 10.730...	49.854...
12	No	$4+4{\sqrt {3}}$ = 10.928...	51.712...
13	No	$4+{\dfrac {10}{3}}{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {6}}$ = 11.406...	56.338...
14	No	$8+2{\sqrt {3}}$ = 11.464...	56.908...
15	Sí	$8+2{\sqrt {3}}$ = 11.464...	56.908...

Un problema estrechamente relacionado es cubrir el triángulo equilátero con un número fijo de círculos iguales, teniendo un radio tan pequeño como sea posible.[6]

Véase también

Relleno con círculos de un triángulo isósceles rectángulo
Círculos de Malfatti, una construcción que brinda la solución óptima para tres círculos en un triángulo equilátero

Referencias

Melissen, Hans (1993), «Densest packings of congruent circles in an equilateral triangle», American Mathematical Monthly 100 (10): 916-925, MR 1252928, doi:10.2307/2324212..
Melissen, J. B. M.; Schuur, P. C. (1995), «Packing 16, 17 or 18 circles in an equilateral triangle», Discrete Mathematics 145 (1-3): 333-342, MR 1356610, doi:10.1016/0012-365X(95)90139-C..
Graham, R. L.; Lubachevsky, B. D. (1995), «Dense packings of equal disks in an equilateral triangle: from 22 to 34 and beyond», Electronic Journal of Combinatorics 2: Article 1, approx. 39 pp. (electronic), MR 1309122..
Oler, Norman (1961), «A finite packing problem», Canadian Mathematical Bulletin 4: 153-155, MR 0133065, doi:10.4153/CMB-1961-018-7..
Payan, Charles (1997), «Empilement de cercles égaux dans un triangle équilatéral. À propos d'une conjecture d'Erdős-Oler», Discrete Mathematics (en francés), 165/166: 555-565, MR 1439300, doi:10.1016/S0012-365X(96)00201-4..
Nurmela, Kari J. (2000), «Conjecturally optimal coverings of an equilateral triangle with up to 36 equal circles», Experimental Mathematics 9 (2): 241-250, MR 1780209, doi:10.1080/10586458.2000.10504649..

Datos: Q5121502

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[Melissen-1] Melissen, Hans (1993), «Densest packings of congruent circles in an equilateral triangle», American Mathematical Monthly 100 (10): 916-925, MR 1252928, doi:10.2307/2324212..

[2] Melissen, J. B. M.; Schuur, P. C. (1995), «Packing 16, 17 or 18 circles in an equilateral triangle», Discrete Mathematics 145 (1-3): 333-342, MR 1356610, doi:10.1016/0012-365X(95)90139-C..

[3] Graham, R. L.; Lubachevsky, B. D. (1995), «Dense packings of equal disks in an equilateral triangle: from 22 to 34 and beyond», Electronic Journal of Combinatorics 2: Article 1, approx. 39 pp. (electronic), MR 1309122..

[4] Oler, Norman (1961), «A finite packing problem», Canadian Mathematical Bulletin 4: 153-155, MR 0133065, doi:10.4153/CMB-1961-018-7..

[5] Payan, Charles (1997), «Empilement de cercles égaux dans un triangle équilatéral. À propos d'une conjecture d'Erdős-Oler», Discrete Mathematics (en francés), 165/166: 555-565, MR 1439300, doi:10.1016/S0012-365X(96)00201-4..

[6] Nurmela, Kari J. (2000), «Conjecturally optimal coverings of an equilateral triangle with up to 36 equal circles», Experimental Mathematics 9 (2): 241-250, MR 1780209, doi:10.1080/10586458.2000.10504649..