Resultante

En matemáticas, la resultante de dos polinomios mónicos $P$ y $Q$ sobre un cuerpo $k$ se define como el producto:

\mathrm {res} \,(P,Q)=\prod _{P(x)=0}\prod _{Q(y)=0}(y-x),\,

de las diferencias de sus raíces, donde $x$ y $y$ toma valores en la clausura algebraica de $k$ . Para polinomios no mónicos con coeficientes dominantes $p$ y $q$ , respectivamente, el producto de más arriba se multiplica por

p^{\deg Q}q^{\deg P}.\,

Computación

La resultante es el determinante de la matriz de Sylvester.

El productorio anterior puede ser reescrito como

\mathrm {res} (P,Q)=\prod _{Q(y)=0}P(y)\,

y esta expresión permanece invariante si

P

se reduce módulo

Q

.

Sea $P'=P\mod Q$ . La idea anterior puede ser aplicada intercambiando los papeles de $P'$ y $Q$ . Sin embargo, $P'$ tiene un conjunto de raíces diferentes de las de $P$ . Esto puede ser resuelto escribiendo $\prod _{Q(y)=0}P'(y)\,$ como un determinante otra vez, donde $P'$ tiene como coeficientes no dominantes el cero. Este determinante puede ser simplificado mediante una expansión iterativa con respecto la columna, donde solo el coeficiente dominante $q$ de $Q$ aparece.

\mathrm {res} (P,Q)=q^{\deg P-\deg P'}\cdot \mathrm {res} (P',Q)

Continuando este procedimiento obtenemos una variante del algoritmo de Euclides. Este procedimiento necesita tiempo de ejecución cuadrático.

Propiedades

$\mathrm {res} (P,Q)=(-1)^{\deg P\cdot \deg Q}\cdot \mathrm {res} (Q,P)$
$\mathrm {res} (P\cdot R,Q)=\mathrm {res} (P,Q)\cdot \mathrm {res} (R,Q)$
Si $P'=P+R\cdot Q$ y $\deg P'=\deg P$ , entonces $\mathrm {res} (P,Q)=\mathrm {res} (P',Q)$
Si $X,Y,P,Q$ tienen el mismo grado y $X=a_{00}\cdot P+a_{01}\cdot Q,Y=a_{10}\cdot P+a_{11}\cdot Q$ ,

entonces

\mathrm {res} (X,Y)=\det {\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}^{\deg P}\cdot \mathrm {res} (P,Q)

$\mathrm {res} (P_{-},Q)=\mathrm {res} (Q_{-},P)$ donde $P_{-}(z)=P(-z)$

Aplicaciones

Las resultantes pueden ser usadas en la geometría algebraica para determinar intersecciones. Por ejemplo, sean $f(x,y)=0$ y $g(x,y)=0$ definiendo unas curva algebraica en $\mathbb {A} _{k}^{2}$ . Si $f$ y $g$ son vistos como polinomios en $x$ con coeficientes en $k(y)$ , entonces la resultante de $f$ y $g$ es un polinomio en $y$ cuyas raíces son las coordenadas $y$ de la intersección de las curvas.

En teoría de Galois, las resultantes pueden ser usadas para calcular normas.
En física, la resultante (ya sea velocidad, fuerza, etc) es la suma de dos o más vectores que por obvias razones son consecutivos. No se debe confundir con la distancia recorrida, ya que esta última es sólo la suma de magnitudes escalares.

Referencias

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Resultant». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Datos: Q1168321

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