Norma de un cuerpo

Uno de los ejemplos básicos de normas proviene de las extensiones de un cuerpo cuadrático ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }$ donde ${\displaystyle a}$ es un número entero libre de cuadrados.

Entonces, la aplicación de multiplicar por ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ un elemento ${\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}}$ es

${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot (x+y\cdot {\sqrt {a}})=y\cdot a+x\cdot {\sqrt {a}}.}$

El elemento ${\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}}$ se puede representar mediante el vector

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$

ya que existe una descomposición de suma directa ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {a}}}$ como un espacio vectorial ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

La matriz de ${\displaystyle m_{\sqrt {a}}}$ es entonces

${\displaystyle m_{\sqrt {a}}={\begin{bmatrix}0&a\\1&0\end{bmatrix}}}$

y la norma es ${\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }=-a}$, ya que es el determinante de esta matriz.

En este ejemplo, la norma es el cuadrado de la norma habitual de distancia euclídea en ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

En general, la norma de un cuerpo es muy diferente a la norma de distancia usual.

Este hecho se puede ilustrar con un ejemplo donde la norma del cuerpo puede ser negativa.

Considérese el cuerpo de números algebraicos ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$.

El grupo de Galois de ${\displaystyle K}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ tiene orden ${\displaystyle d=2}$ y es generado por el elemento que aplica ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ sobre ${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$.

Entonces la norma de ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$ es:

${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})(1-{\sqrt {2}})=-1.}$

La norma de un cuerpo también se puede obtener sin el grupo de Galois.

Dispóngase una base ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ de ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$, tal que:

${\displaystyle \{1,{\sqrt {2}}\}}$.

Entonces, se define la multiplicación por el número que aplica ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

1 a ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$ y

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ a ${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}$.

Entonces el determinante de multiplicar por ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$ es el determinante de la matriz que envía el vector

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$ (correspondiente al primer elemento base, es decir, 1) a ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$ (correspondiente al segundo elemento base, es decir, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$) a ${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}}$,

En consecuencia:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}.}$

El determinante de esta matriz es −1.

Otra clase fácil de ejemplos proviene de la extensión de cuerposs de la forma ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }$ donde la factorización prima de ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$ no contiene potencias ${\displaystyle p}$-th.

La aplicación de la multiplicación por ${\displaystyle {\sqrt[{p}]{a}}}$ de un elemento es

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\sqrt[{p}]{a}}(x)&={\sqrt[{p}]{a}}\cdot (a_{1}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{3}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+\cdots +a_{p-1}{\sqrt[{p}]{a^{p-1}}})\\&=a_{1}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+a_{3}{\sqrt[{p}]{a^{3}}}+\cdots +a_{p-1}a\end{aligned}}}$

dando la matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&a\\1&0&\cdots &0&0\\0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

El determinante proporciona la norma

${\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt[{p}]{a}})=(-1)^{p-1}a=a.}$

La norma de cuerpo de los números complejos sobre los números reales hace corresponder a

x + iy

el número real

x² + y²,

porque el grupo de Galois de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tiene dos elementos,

• El elemento de identidad y
• La conjugación compleja

Tomando el producto se obtiene (x + iy)(x − iy) = x² + y².

Sea L = GF(qⁿ) una extensión finita de un cuerpo finito K = GF(q).

Dado que L/K es una extensión de Galois, si α está en L, entonces la norma de α es el producto de todos los elementos conjugados de α, es decir[3]

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{(q^{n}-1)/(q-1)}.}$

En este entorno se dispone de las propiedades adicionales,[4]

• ${\displaystyle \forall \alpha \in L,\quad \operatorname {N} _{L/K}(\alpha ^{q})=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )}$
• ${\displaystyle \forall a\in K,\quad \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{n}.}$

La norma N_L/K: L*→K* es un homomorfismo de grupos del grupo multiplicativo de L sobre el grupo multiplicativo de K, es decir

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha \beta )=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )\operatorname {N} _{L/K}(\beta ){\text{ for all }}\alpha ,\beta \in L^{*}.}$

Además, si a en K:

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a\alpha )=a^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(\alpha ){\text{ for all }}\alpha \in L.}$

Si a ∈ K entonces ${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{[L:K]}.}$

Además, la norma se comporta bien en torres de cuerpos:

si M es una extensión finita de L, entonces la norma de M sobre K es solo la composición de la norma de M sobre L con la norma de L sobre K, es decir

${\displaystyle \operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}.}$

La norma de un elemento en una extensión de cuerpos arbitraria se puede reducir a un cálculo más sencillo si ya se conoce el grado de la extensión de cuerpos. Esto es

${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )=N_{K(\alpha )/K}(\alpha )^{[L:K(\alpha )]}}$[6]

Por ejemplo, para ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}}$ en una extensión de cuerpos ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}),K=\mathbb {Q} }$, la norma de ${\displaystyle \alpha }$ es

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})&=N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})^{[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}):\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})]}\\&=(-2)^{2}\\&=4\end{aligned}}}$

ya que el grado de la extensión de cuerpos ${\displaystyle L/K(\alpha )}$ es ${\displaystyle 2}$.

Un elemento ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{K}}$ es una unidad si y solo si ${\displaystyle N_{K/\mathbb {Q} }(\alpha )=\pm 1}$.

Por ejemplo

${\displaystyle N_{\mathbb {Q} (\zeta _{3})/\mathbb {Q} }(\zeta _{3})=1}$

donde

${\displaystyle \zeta _{3}^{3}=1}$.

Entonces, cualquier cuerpo numérico ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ que contenga ${\displaystyle \zeta _{3}}$ lo tiene como una unidad.