Polinomio mínimo (teoría de cuerpos)

Las letras ℂ, ℝ y ℚ denotan respectivamente los cuerpos de los números complejos, reales y racionales.

• Cualquier elemento k del subcuerpo K es algebraico sobre K, con polinomio mínimo (X - k)
• Cualquier número complejo no real a + i b (con a y b reales y b distinto de cero) es algebraico sobre ℝ, con polinomio mínimo X² - 2a X + a² + b²
• La unidad imaginaria i tiene el mismo polinomio mínimo sobre ℝ y ℚ, a saber, X ² + 1
• La raíz cuadrada de dos, √2, es un número algebraico con un polinomio mínimo X² - 2 sobre ℚ (diferente de su polinomio mínimo sobre ℝ, que es X - √2)
• El número algebraico √2 + √3 tiene un polinomio mínimo (en ℚ) X⁴ - 10X² + 1 =(X - √2 - √3) (X - √2 + √3) (X + √2 + √3) (X + √2 - √3)

(la minimalidad resulta del hecho de que el producto de dos de sus factores no pertenecen a ℚ[X], siendo las raíces del polinomio opuestas dos a dos)

• Números trascendentes (no algebraicos), como π (según el teorema de Lindemann), por lo tanto, no tienen un polinomio mínimo sobre ℚ.
• Si el polinomio unitario P es irreducible en K, es el polinomio mínimo del elemento de su cuerpo de ruptura K[X]/(P) que es la clase de X módulo P.
• Por ejemplo, 𝔽₂ es el cuerpo finito de 2 elementos, el polinomio X² + X + 1 de 𝔽₂[X] es irreducible; observando en 𝔽₄ su cuerpo de ruptura (un cuerpo finito con 4 elementos) y j la clase de módulo X de este polinomio, entonces X² + X + 1 es el polinomio mínimo de j, y también de j + 1
• El n-ésimo polinomio ciclotómico Φ_n es unitario e irreducible en ℚ[X]: es el polinomio mínimo en ℚ de cada una de sus raíces, las raíces primitivas n-ésimas de la unidad e^2ikπ/n, con k primo con respecto a n
• Un número entero algebraico es por definición un número algebraico cuyo polinomio mínimo tiene coeficientes enteros

Aquí K es un cuerpo, L una extensión de K y m un elemento de L.

En el artículo cuerpo de ruptura, partiendo de que el anillo K[X] es euclídeo y por lo tanto principal, se demuestra que:

• Sea P un polinomio irreducible y unitario de K [X], entonces existe una extensión de K, de grado igual al grado de P, que contiene un elemento del cual P es el polinomio mínimo.

Las siguientes propiedades se demuestran en el artículo principal:

• Si m es algebraico sobre K y si su polinomio mínimo es de grado n, entonces cualquier extensión que contenga a m es de grado infinito o múltiplo de n y la menor es de grado n.
  Esta propiedad permite por ejemplo demostrar que la trisección del ángulo o la duplicación del cubo es en general imposible con la regla y el compás (véase el artículo torre de extensiones cuadráticas).
• Si m es algebraico sobre una extensión finita de K, entonces m es algebraico sobre K.
• Si m₁ y m₂ son algebraicos sobre K, entonces m₁ m₂ y m₁ + m₂ lo son también, y m₁^–1 también lo es si m₁ es distinto de cero.

Se dice que un elemento algebraico sobre K es separable (sobre K) si todas las raíces de su polinomio mínimo sobre K, en una extensión donde este polinomio es dividido, son simples.

Se dice que una extensión algebraica de K es separable si todos sus elementos lo son. Este es siempre el caso si K es un cuerpo perfecto, como por ejemplo si K es finito o de característica cero.

Según establece el teorema del elemento primitivo, las extensiones separables tienen propiedades importantes, como:

• Cualquier extensión finita separable es simple, es decir, contiene un elemento que genera la extensión, o nuevamente, cuyo polinomio mínimo es de grado igual al grado de extensión.

Sea ψ_m la restricción de φ_m en K[m], el cuerpo de ruptura P_m, polinomio mínimo de m. Si d es el grado de P_m, el K-espacio vectorial K[m] tiene por base (1, m, m²,…, md – 1), y la matriz MK[m] de ψm en esta base es la matriz compañera de P_m, cuyo polinomio característico es igual a P_m.

Sea por otro lado (l₁,…, l_n) una base sobre K del [m]-espacio vectorial L. Entonces, la familia de mⁱl_j, para i que varía de 0 a (d-1) y j de 1 a n, forma una base en el K-espacio vectorial L, en el que la matriz M_L de φ_m se escribe por bloques:

${\displaystyle M_{L}={\begin{pmatrix}M_{K[m]}&0&\cdots &0\\0&M_{K[m]}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&M_{K[m]}\\\end{pmatrix}}}$

El polinomio característico χ_m de m relativo a la extensión L de K es entonces una potencia del polinomio mínimo P_m:

• Si L es de grado n sobre K[m], entonces:

${\displaystyle \chi _{m}(X)={\Big (}P_{m}(X){\Big )}^{n}}$

(se obtiene así el teorema de Cayley-Hamilton en este caso tan particular).

La norma de m relativa a la extensión L de K se denota generalmente como N_L/K(m). Por definición, es un elemento de K, igual al coeficiente constante del polinomio característico de m incluido su posible signo (es decir, multiplicado por (-1)ⁿ). También es el producto de las raíces de χ_m (contadas con sus multiplicidades, y en una extensión donde se divide χ_m).

Cuando φ_m se define en la extensión K[m], su polinomio mínimo es el polinomio mínimo de m y por lo tanto:

• La norma de un elemento m relativa a la extensión K[m] es el producto de las raíces de su polinomio mínimo.

Dada la expresión del polinomio característico en función del polinomio mínimo, se tiene que:

• Si L es de grado n sobre K[m], la norma de m relativa a la extensión L de K es igual a la norma m relativa a la extensión K[m] elevada a la potencia n, y por lo tanto, al producto de las potencias n-ésimas de los elementos conjugados de m.

La traza de m relativa a la extensión L de K a menudo se denota como Tr_L/K(m). Es, como la norma, un elemento de K, opuesto al coeficiente subdominante de χ_m que, en el caso particular L = K[m], no es otro que el polinomio mínimo de m.

La aplicación que a dos elementos a y b de L le asocia la traza de ab se llama forma de traza. Desempeña un papel importante en la teoría de números algebraicos, por ejemplo, para definir el discriminante.