Raíz de un polinomio

Así, el polinomio (X² - 2 = 0), con coeficientes en ℚ (y por lo tanto, también en ℝ o ℂ), no tiene ninguna raíz en ℚ pero tiene dos en ℝ (√2 y –√2) (y por lo tanto, también en ℂ). De hecho, si se sustituye √2 o –√2 por X en el polinomio, se obtiene 0.

Etimología: El término raíz proviene de las traducciones latinas de Robert de Chester y Gerardo de Cremona del término gizr. La palabra gizr significa 'raíz', y se traduce al latín como radix. El término gizr es utilizado por el matemático de origen persa del siglo VIII Al-Juarismi, en su tratado Kitâb al-jabr wa al-muqâbala, obra que se ocupó por primera vez de forma exhaustiva del cálculo de las raíces reales de la ecuación de segundo grado.[3]

De hecho, si P(X) = (X - α) Q(X), entonces P(α) = 0 y viceversa, si P(α) = 0 entonces P(X) es igual a P(X) - P(α), combinación lineal de polinomios de la forma X^k - α^k, todos divisibles por X – α.

En el ejemplo elegido, la igualdad:

${\displaystyle X^{2}-2=\left(X-{\sqrt {2}}\right)\left(X-\left(-{\sqrt {2}}\right)\right)}$

es otra forma de denotar que √2 y –√2 son de hecho las dos raíces del polinomio.

El simple hecho de que el polinomio (X - α) sea unitario permite (sin necesidad de asumir la integridad en A) definir las siguientes nociones:

El polinomio (X² - 2) es separable, es decir, no tiene raíces múltiples. Además, se divide en ℝ, en el siguiente sentido:

P es entonces distinto de cero, y su coeficiente dominante es el producto de los coeficientes dominantes de estos polinomios de primer grado. De manera más general, se dice que un polinomio distinto de cero de L[X] se divide en L si es el producto de una constante y un producto (que puede ser vacío) de polinomios unitarios de primer grado. Tal descomposición es entonces única: cada término constante de uno de estos polinomios unitarios de primer grado es igual al opuesto de una raíz de P en L, y si esta raíz es de orden m, este factor se repite m veces. Por lo tanto, el número de estos factores es igual al grado de P.

Se define el polinomio simétrico ${\displaystyle k}$-ésimo, denotado de la forma ${\displaystyle \sigma _{k}}$, como la suma de sus elementos multiplicada por ${\displaystyle k}$. Por ejemplo, los polinomios simétricos asociados a las variables ${\displaystyle w}$, ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ y ${\displaystyle z}$ son:

${\displaystyle \sigma _{1}=w+x+y+z}$,

${\displaystyle \sigma _{2}=wx+wy+wz+xy+xz+yz}$,

${\displaystyle \sigma _{3}=wxy+wyz+xyz+xzw}$,

${\displaystyle \sigma _{4}=wxyz}$.

Más generalmente,

${\displaystyle \sigma _{1}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$,

${\displaystyle \sigma _{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}}$,

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle \sigma _{k}=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\ldots x_{i_{k}}}$,

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle \sigma _{n}=x_{1}x_{2}\ldots x_{n}}$.

Sea ${\displaystyle P}$ un polinomio dividido de grado ${\displaystyle n}$ y ${\displaystyle x_{i}}$ sus raíces ${\displaystyle n}$, que pueden ser múltiples. Entonces,

${\displaystyle \sigma _{k}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}$.

Estas relaciones se prueban desarrollando el producto ${\displaystyle P=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})}$ e identificando los coeficientes de expansión (que se expresan a partir de los polinomios simétricos de las raíces) con los coeficientes de ${\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{0}}$.

• Caso ${\displaystyle n=2}$. Sea ${\displaystyle P=aX^{2}+bX+c}$ y sean ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ sus raíces. Entonces:[7]

  ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}$,

  ${\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$.

• Caso ${\displaystyle n=3}$. Sea ${\displaystyle P=aX^{3}+bX^{2}+cX+d}$ y sean sus raíces ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$. Entonces,[8]

  ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}}}$,

  ${\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}}}$,

  ${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}$.

Sea el polinomio dado ${\displaystyle P=X^{3}+2X^{2}+3X+4}$, con ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, y ${\displaystyle c}$ sus raíces. Se desea determinar la suma ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}}$. Para ello, se dispone de la siguiente identidad:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+ac+bc)}$,

para que, según las relaciones de Viète:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=(-2)^{2}-2\cdot 3=-2}$.

Las sumas de Newton son una generalización de este principio. Se establece ${\displaystyle s_{k}=x_{1}^{k}+\cdots +x_{n}^{k}}$, donde ${\displaystyle x_{i}}$ son las raíces de ${\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots +a_{0}}$ (en particular, ${\displaystyle s_{0}=n}$). El método presentado en el ejemplo está generalizado, pero los cálculos se vuelven complicados. Por otro lado, se puede demostrar directamente que,[9] para ${\displaystyle d\leq n}$:

${\displaystyle a_{n}s_{1}+a_{n-1}=0}$,

${\displaystyle a_{n}s_{2}+a_{n-1}s_{1}+2a_{n-2}=0}$,

${\displaystyle a_{n}s_{3}+a_{n-1}s_{2}+a_{n-2}s_{1}+3a_{n-3}=0}$,

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle a_{n}s_{d}+a_{n-1}s_{d-1}+\ldots +a_{n-d+1}s_{1}+da_{n-d}=0}$.

Debido a su expresión polinomial, los coeficientes de un polinomio de coeficientes complejos son funciones continuas de sus raíces. Lo contrario es cierto pero más difícil de demostrar. Considérese la aplicación ${\displaystyle F:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}}$ definida por:

${\displaystyle F(z_{1},\dots ,z_{n})=(-\sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,(-1)^{n}\sigma _{n})}$

donde ${\displaystyle \sigma _{i}}$ son los polinomios simétricos elementales definidos a partir de ${\displaystyle (z_{1},\dots ,z_{n})}$.

${\displaystyle F(z_{1},\dots ,z_{n})}$ reúne la lista de los coeficientes de los polinomios mónicos ${\displaystyle (X-z_{1})\cdots (X-z_{n})}$ (excepto el coeficiente dominante igual a 1). Según el teorema fundamental del álgebra, esta aplicación es sobreyectiva. F es continua, ya que los coeficientes del polinomio son funciones continuas de las raíces. La factorización canónica de F conduce a la introducción de la siguiente relación de equivalencia en el conjunto inicial ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ de F:

${\displaystyle (z_{1},\dots ,z_{n}){\mathcal {R}}(z_{1}',\dots ,z_{n}')\iff F(z_{1},\dots ,z_{n})=F(z_{1}',\dots ,z_{n}')\iff \exists \varphi \in {\mathfrak {S}}_{n},\forall i,z_{i}'=z_{\varphi (i)}}$

donde ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{n}}$ es el grupo simétrico en el conjunto ${\displaystyle \{i,\dots ,n\}}$ de los índices.

Ahora, se denota como ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/{\mathfrak {S}}_{n}}$ al conjunto cociente. Se dota al conjunto con una topología cociente. F se factoriza en la forma ${\displaystyle {\overline {F}}\circ \pi }$, donde ${\displaystyle \pi }$ es la proyección canónica de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ en ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/{\mathfrak {S}}_{n}}$, y F}} la aplicación de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/{\mathfrak {S}}_{n}}$ en ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ que, a una clase de equivalencia representada por ${\displaystyle (z_{1}\cdots ,z_{n})}$, asocia la secuencia de polinomios simétricos elementales correspondientes. Entonces, se puede demostrar que F es un homeomorfismo entre el conjunto ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/{\mathfrak {S}}_{n}}$ de las raíces del polinomio (salvo permutaciones) y el conjunto ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ de los coeficientes del polinomio.[10]

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• Raíces completas de un polinomio con coeficientes enteros en gecif.net