Sólido de Steinmetz

Para deducir la fórmula del volumen, es conveniente utilizar la idea común para calcular el volumen de una esfera: dividirla en rodajas cilíndricas delgadas. En este caso, las rodajas finas son cuboides cuadrados (véase diagrama). Esto lleva a

${\displaystyle V=\int _{-r}^{r}(2x)^{2}\mathrm {d} z=4\cdot \int _{-r}^{r}x^{2}\mathrm {d} z=4\cdot \int _{-r}^{r}(r^{2}-z^{2})\mathrm {d} z={\frac {16}{3}}r^{3}}$.

Es bien conocido que las relaciones de los volúmenes de un cono circular recto, la mitad de una esfera y un cilindro circular recto con los mismos radios y alturas son 1: 2: 3. Para la mitad de un cilindro, una afirmación similar es verdadera:

• Las relaciones de los volúmenes de la pirámide cuadrada inscrita (${\displaystyle a=2r,h=r,V={\frac {4}{3}}r^{3}}$), el medio cilindro (${\displaystyle V={\frac {8}{3}}r^{3}}$) y el cuboide cuadrado circundante (${\displaystyle a=2r,h=r,V=4r^{3}}$) son 1: 2: 3.

Considérense las ecuaciones de los cilindros:

${\displaystyle x^{2}+z^{2}=r^{2}}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$

El volumen vendrá dado por:

${\displaystyle V=\iiint _{V}\mathrm {d} z\mathrm {d} y\mathrm {d} x}$

Con los límites de la integración:

${\displaystyle -{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\leqslant z\leqslant {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$

${\displaystyle -{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\leqslant y\leqslant {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$

${\displaystyle -r\leqslant x\leqslant r}$

Sustituyendo, se tiene que:

${\displaystyle V=\int _{-r}^{r}\int _{-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}^{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\int _{-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}^{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\mathrm {d} z\mathrm {d} y\mathrm {d} x=8r^{3}-{\frac {8r^{3}}{3}}={\frac {16r^{3}}{3}}}$

El área de la superficie consta de dos triángulos cilíndricos rojos y dos azules. Un biángulo rojo se corta en mitades por el plano yz y se desarrolla en el plano tal que el semicírculo (intersección con el plano yz) se desarrolla sobre el eje ${\displaystyle \xi }$ positivo y el desarrollo del biángulo está limitado hacia arriba por el arco sinusoidal ${\displaystyle \eta =r\sin \left({\frac {\xi }{r}}\right),\ 0\leq \xi \leq \pi r}$. Por lo tanto, el área de este desarrollo es

Bóveda de claustro

${\displaystyle B=\int _{0}^{\pi r}r\sin \left({\frac {\xi }{r}}\right)\mathrm {d} \xi =2r^{2}}$

y la superficie total es:

${\displaystyle A=8\cdot B=16r^{2}}$.

La deducción del volumen de un bicilindro (blanco) se puede hacer empaquetándolo en un cubo (rojo). Un plano (paralelo a los ejes de los cilindros) que se cruza con el cilindro forma un cuadrado y su intersección con el cubo es un cuadrado más grande. La diferencia entre las áreas de los dos cuadrados es la misma que 4 cuadrados pequeños (azul). A medida que el plano se mueve a través de los sólidos, estos cuadrados azules describen pirámides cuadradas con caras isósceles en las esquinas del cubo; las pirámides tienen sus vértices en los puntos medios de los cuatro bordes del cubo. Mover el plano a través de todo el cilindro describe un total de 8 pirámides.

• 
  El método de Zu Chongzhi (similar al principio de Cavalieri) para calcular el volumen de una esfera incluye calcular el volumen de un cilindro.
• 
  Relación del área de una sección de cilindro con una sección de cubo

El volumen del cubo (rojo) menos el volumen de las ocho pirámides (azul) es el volumen del bicilindro (blanco). El volumen de las 8 pirámides es: ${\displaystyle \textstyle 8\times {\frac {1}{3}}r^{2}\times r={\frac {8}{3}}r^{3}}$, y luego se puede calcular que el volumen del cilindro es ${\displaystyle \textstyle (2r)^{3}-{\frac {8}{3}}r^{3}={\frac {16}{3}}r^{3}}$