Sucesión de Fibonacci

Leonardo Pisano, Leonardo de Pisa, o Leonardo Bigollo, también conocido como Fibonacci, nació en 1170 y murió en 1240. Mucho antes de ser conocida en Occidente, la sucesión de Fibonacci ya estaba descrita en la matemática en la India, en conexión con la prosodia sánscrita.[3][4]

Susantha Goonatilake hace notar que el desarrollo de la secuencia de Fibonacci «es atribuido en parte a Pingala (año 200), posteriormente asociado con Virahanka (hacia el año 700), Gopāla (hacia 1135) y Hemachandra (hacia 1150)».[5] Parmanand Singh cita a Pingala (hacia 450) como precursor en el descubrimiento de la secuencia.[6]

La sucesión fue descrita y dada a conocer en occidente por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos:[7]

Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta ese mes.

Página del Liber Abaci de Fibonacci de la Biblioteca Nacional Central de Florencia mostrando (en un recuadro a la derecha) la sucesión de Fibonacci con las posiciones de la secuencia etiquetadas en números romanos y en latín; y el valor de los números en cifras arábigas.

De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.[8]

También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos ${\displaystyle f_{n+1}/f_{n}}$ se acerca a la relación áurea fi (${\displaystyle \phi }$) cuando ${\displaystyle n}$ tiende a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta sucesión tuvo popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen, la banda Tool y Delia Derbyshire la utilizaron para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.

Los números de Fibonacci quedan definidos por las ecuaciones

(1)${\displaystyle f_{0}=0\,}$

(2)${\displaystyle f_{1}=1\,}$

(3)${\displaystyle f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}\,}$

Con n>=2.

Esto produce los siguientes números:

• ${\displaystyle f_{2}=1\,}$
• ${\displaystyle f_{3}=2\,}$
• ${\displaystyle f_{4}=3\,}$
• ${\displaystyle f_{5}=5\,}$
• ${\displaystyle f_{6}=8\,}$
• ${\displaystyle f_{7}=13\,}$
• ${\displaystyle f_{8}=21\,}$

y así sucesivamente.

Esta manera de definir, de hecho considerada algorítmica, es usual en matemática discreta.

Es importante definir ${\displaystyle f_{0}=0\,}$ para que se pueda cumplir la importante propiedad de que:

${\displaystyle f_{n}}$ divide a ${\displaystyle f_{m*n}}$, para cualquier ${\displaystyle m,n>=1}$.

Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.

${\displaystyle {\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}={\frac {b}{a}}={\frac {c}{b}}}$, donde c=a+b; a≠0; b≠0; b>a

${\displaystyle bb=ac}$

${\displaystyle b^{2}=ac}$

${\displaystyle b^{2}=a*(a+b)}$

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+ab}$

${\displaystyle a^{2}-b^{2}+ab=0}$

Reemplazando las variables por pares de valores consecutivos de la sucesión de Fibonacci (a=1;b=2 o a=3;b=5) se ve que:

${\displaystyle (1)^{2}-(2)^{2}+(1)*(2)=-1}$

${\displaystyle (3)^{2}-(5)^{2}+(3)*(5)=-1}$

Con la fórmula siguiente se puede establecer cuán fuerte es la relación áurea entre dos números: 0 Es una relación áurea perfecta y en los extremos 1 y - 1 son números pertenecientes a la sucesión Fibonacci ${\displaystyle -1<=a^{2}-b^{2}+ab<=1}$

Este apartado convendría reformarlo o suprimirlo pues la igualdad inicial

${\displaystyle {\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}={\frac {b}{a}}={\frac {c}{b}}}$, donde c=a+b; a≠0; b≠0; b>a

parece indicar que el número áureo es del tipo b/a. esto es, racional lo cual es falso.

Al construir bloques cuya longitud de lado sean números de Fibonacci se obtiene un dibujo que se asemeja al rectángulo áureo (véase Número áureo).

Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud ${\displaystyle n}$ que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamada Fibonacci Quarterly[10] dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a la amplitud con la que los números de Fibonacci aparecen en matemática y sus aplicaciones en otras áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes:

• La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f_{n+1}}{f_{n}}}=\varphi }$

Este límite no es privativo de la Sucesión de Fibonacci. Cualquier sucesión recurrente de orden 2, como la sucesión 3, 4, 7, 11, 18,..., lleva al mismo límite. Esto fue demostrado por Barr y Schooling en una carta publicada en la revista londinense The Field del 14 de diciembre de 1912.^{[cita requerida]} Los cocientes son oscilantes; es decir, que un cociente es menor al límite y el siguiente es mayor. Los cocientes pueden ordenarse en dos sucesiones que se aproximan asintóticamente por exceso y por defecto al valor límite.

• Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo, ${\displaystyle 17=13+3+1}$, ${\displaystyle 65=55+8+2}$.
• Tan solo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las congruencias módulo ${\displaystyle m}$, para cualquier ${\displaystyle m}$.
• La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula explícita llamada forma de Binet (de Jacques Binet). Si ${\displaystyle \textstyle \alpha ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ y ${\displaystyle \textstyle \beta ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}$, entonces

${\displaystyle f_{n}={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }}}$ y ${\displaystyle f_{n}\approx {\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {5}}}\,}$

• Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. Es decir

${\displaystyle f_{n}={\frac {f_{n-2}+f_{n+1}}{2}}}$

• Lo anterior también puede expresarse así: calcular el siguiente número a uno dado es 2 veces este número menos el número 2 posiciones más atrás.

${\displaystyle f_{n+1}=f_{n}*2-f_{n-2}}$

• La suma de los ${\displaystyle n}$ primeros números es igual al número que ocupa la posición ${\displaystyle n+2}$ menos uno. Es decir

${\displaystyle f_{0}+f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n}=f_{n+2}-1}$

• Otras identidades interesantes incluyen las siguientes:

${\displaystyle f_{0}-f_{1}+f_{2}-\cdots +(-1)^{n}f_{n}=(-1)^{n}f_{n-1}-1}$

${\displaystyle f_{1}+f_{3}+f_{5}+\cdots +f_{2n-1}=f_{2n}}$

${\displaystyle f_{0}+f_{2}+f_{4}+\cdots +f_{2n}=f_{2n+1}-1}$

${\displaystyle f_{0}^{2}+f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+\cdots +f_{n}^{2}=f_{n}f_{n+1}}$

${\displaystyle f_{1}f_{2}+f_{2}f_{3}+f_{3}f_{4}+\cdots +f_{2n-1}f_{2n}=f_{2n}^{2}}$

${\displaystyle f_{1}f_{2}+f_{2}f_{3}+f_{3}f_{4}+\cdots +f_{2n}f_{2n+1}=f_{2n+1}^{2}-1}$

Si ${\displaystyle k\geq 1}$, entonces ${\displaystyle f_{n+k}=f_{k}f_{n+1}+f_{k-1}f_{n}\,}$ para cualquier ${\displaystyle n\geq 0}$

${\displaystyle f_{n+1}f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n}}$ (Identidad de Cassini)

${\displaystyle f_{n+1}^{2}+f_{n}^{2}=f_{2n+1}}$

${\displaystyle f_{n+2}^{2}-f_{n+1}^{2}=f_{n}f_{n+3}}$

Phi forma parte de una expresión de la sucesión de Fibonacci.

${\displaystyle f_{n+2}^{2}-f_{n}^{2}=f_{2n+2}}$

${\displaystyle f_{n+2}^{3}+f_{n+1}^{3}-f_{n}^{3}=f_{3n+3}}$

${\displaystyle f_{n}=\varphi ^{n+1}-(f_{n+1})\varphi }$ (con φ = número áureo) o, despejando f(n+1) y aplicando 1/φ = φ-1:

${\displaystyle f_{n+1}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )f_{n}}$

• El máximo común divisor de dos números de Fibonacci es otro número de Fibonacci. Más específicamente

${\displaystyle \mathrm {mcd} \left(f_{n},f_{m}\right)=f_{\mathrm {mcd} \left(n,m\right)}}$

Esto significa que ${\displaystyle f_{n}\,}$ y ${\displaystyle f_{n+1}\,}$ son primos relativos y que ${\displaystyle f_{k}\,}$ divide exactamente a ${\displaystyle f_{nk}\,}$

• Los números de Fibonacci aparecen al sumar las diagonales del triángulo de Pascal. Es decir que para cualquier ${\displaystyle n\geq 0}$,

Los números de Fibonacci son la suma de las diagonales (marcadas en rojo) del triángulo de Pascal.

${\displaystyle f_{n+1}=\sum _{j=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\begin{pmatrix}n-j\\j\end{pmatrix}}}$

y más aún

${\displaystyle f_{3n}=\sum _{j=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\j\end{pmatrix}}2^{j}f_{j}}$

• Si ${\displaystyle f_{p}=a}$, tal que ${\displaystyle a}$ es un número primo, entonces ${\displaystyle p}$ también es un número primo, con una única excepción, ${\displaystyle f_{4}=3}$; 3 es un número primo, pero 4 no lo es.
• La suma infinita de los términos de la sucesión ${\displaystyle \textstyle {\frac {f_{n}}{10^{n}}}}$ es exactamente ${\displaystyle \textstyle {\frac {10}{89}}}$.
• La suma de diez números Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces superior al séptimo número de la serie.
• El último dígito de cada número se repite periódicamente cada 60 números. Los dos últimos, cada 300; a partir de ahí, se repiten cada ${\displaystyle 15\times 10^{n-1}}$ números.
• Al surgir la sucesión de Fibonacci de la suma de las diagonales del triángulo de Pascal. Se puede caracterizar también a ${\displaystyle \varphi }$ (el número áureo) con base en estas sumas. Representando el límite en el infinito de la razón entre las sumas de las diagonales pares del triángulo ${\displaystyle (f_{2n})}$ y las sumas de las diagonales impares ${\displaystyle (f_{2n-1})}$; de esta forma:
  ${\displaystyle \varphi =\displaystyle \lim _{n\to {+}\infty }{\left({\dfrac {{\binom {2n-1}{0}}+{\binom {2n-2}{1}}+{\binom {2n-3}{2}}+...+{\binom {n}{n-1}}}{{\binom {2n-2}{0}}+{\binom {2n-3}{1}}+{\binom {2n-4}{2}}+...+{\binom {n-1}{n-1}}}}\right)}}$ o ${\displaystyle \varphi \,\approx {}\,{\dfrac {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\,\displaystyle {\binom {2n-1-k}{k}}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\,\displaystyle {\binom {2n-2-k}{k}}}}}$ [11]

Gráfica de la sucesión de Fibonacci extendida al campo de los números reales.

El concepto fundamental de la sucesión de Fibonacci es que cada elemento es la suma de los dos anteriores. En este sentido la sucesión puede expandirse al conjunto de los números enteros como ${\displaystyle \ldots ,-8,5,-3,2,-1,1,0,1,1,2,3,5,8,\ldots }$ de manera que la suma de cualesquiera dos números consecutivos es el inmediato siguiente. Para poder definir los índices negativos de la sucesión, se despeja ${\displaystyle f_{n-2}\,}$ de la ecuación (3) de donde se obtiene

${\displaystyle f_{n-2}=f_{n}-f_{n-1}\,}$

De esta manera, ${\displaystyle f_{-n}=f_{n}\,}$ si ${\displaystyle n}$ es impar y ${\displaystyle f_{-n}=-f_{n}\,}$ si ${\displaystyle n}$ es par.[12]

La sucesión se puede expandir al campo de los números reales tomando la parte real de la fórmula explícita (ecuación (6)) cuando ${\displaystyle n}$ es cualquier número real. La función resultante

${\displaystyle f(x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(\pi x)\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}$

tiene las mismas características que la sucesión de Fibonacci:

• ${\displaystyle f(0)=0~}$
• ${\displaystyle f(1)=1~}$
• ${\displaystyle f(x)=f(x-1)+f(x-2)~}$ para cualquier número real ${\displaystyle x}$

Una sucesión de Fibonacci generalizada es una sucesión ${\displaystyle g_{0},g_{1},g_{2},\ldots }$ donde

(11)${\displaystyle g_{n}=g_{n-1}+g_{n-2}\,}$ para ${\displaystyle n=2,3,4,5,\ldots }$

Es decir, cada elemento de una sucesión de Fibonacci generalizada es la suma de los dos anteriores, pero no necesariamente comienza en 0 y 1.

Una sucesión de fibonacci generalizada muy importante, es la formada por las potencias del número áureo.

${\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}}$.

La importancia de esta sucesión reside en el hecho de que se puede expandir directamente al conjunto de los números reales.

${\displaystyle \varphi ^{x}=\varphi ^{x-1}+\varphi ^{x-2}}$.

...y al de los complejos.

${\displaystyle \varphi ^{z}=\varphi ^{z-1}+\varphi ^{z-2}}$.

Una característica notable es que, si ${\displaystyle g_{0},g_{1},g_{2},\ldots }$ es una sucesión de Fibonacci generalizada, entonces

${\displaystyle g_{n}=f_{n-1}g_{0}+f_{n}g_{1}~}$

Por ejemplo, la ecuación (11) puede generalizarse a

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}}^{n}{\begin{bmatrix}g_{0}\\g_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{n}\\g_{n+1}\end{bmatrix}}}$

Esto significa que cualquier cálculo sobre una sucesión de Fibonacci generalizada se puede efectuar usando números de Fibonacci.

Sucesión de Lucas

Gráfica de la sucesión de Lucas extendida al campo de los números reales.

Un ejemplo de sucesión de Fibonacci generalizada es la sucesión de Lucas, descrita por las ecuaciones

• ${\displaystyle l_{0}=2~}$
• ${\displaystyle l_{1}=1~}$
• ${\displaystyle l_{n}=l_{n-1}+l_{n-2}~}$ para ${\displaystyle n=2,3,4,5,\ldots }$

La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión de Fibonacci y comparte muchas de sus características. Algunas propiedades interesantes incluyen:

• La proporción entre un número de Lucas y su sucesor inmediato se aproxima al número áureo. Es decir

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {l_{n+1}}{l_{n}}}=\varphi }$

• La fórmula explícita para la sucesión de Lucas es

${\displaystyle l_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}}$

• La suma de los primeros ${\displaystyle n}$ números de Lucas es el número que se encuentra en la posición ${\displaystyle n+2}$ menos uno. Es decir

${\displaystyle l_{0}+l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n}=l_{n+2}-1}$

• Cualquier fórmula que contenga un número de Lucas puede expresarse en términos de números de Fibonacci mediante la igualdad

${\displaystyle l_{n}=f_{n-1}+f_{n+1}~}$

• Cualquier fórmula que contenga un número de Fibonacci puede expresarse en términos de números de Lucas mediante la igualdad

${\displaystyle f_{n}={\frac {l_{n-1}+l_{n+1}}{5}}}$

Cálculo de ${\displaystyle f_{7}}$ usando el algoritmo 1. El árbol descendente de sumas, se detiene en las distintas ramas cuando se alcanza ${\displaystyle \mathrm {fib} _{1}}$. El resultado es precisamente el número de veces que aparece ${\displaystyle \mathrm {fib} _{1}}$ en el árbol (13 veces en este caso, valor de ${\displaystyle f_{7}}$).

Para calcular el ${\displaystyle n}$-ésimo elemento de la sucesión de Fibonacci existen varios algoritmos (métodos). Su definición misma puede emplearse como uno de estos algoritmos, aquí expresado en pseudocódigo:

Algoritmo 1 Versión recursiva descendente (Complejidad ${\displaystyle O(\varphi ^{n})\,}$)

función ${\displaystyle {\rm {fib}}(n)\,}$ si ${\displaystyle n<2\,}$ entonces devuelve ${\displaystyle n\,}$ en otro caso devuelve ${\displaystyle {\rm {fib}}(n-1)+{\rm {fib}}(n-2)\,}$

Usando técnicas de análisis de algoritmos es posible demostrar que, a pesar de su simplicidad, el algoritmo 1 requiere efectuar ${\displaystyle f_{n+1}-1}$ sumas para poder encontrar el resultado. Dado que la sucesión ${\displaystyle f_{n}}$ crece tan rápido como ${\displaystyle \varphi ^{n}}$, entonces el algoritmo está en el orden de ${\displaystyle \varphi ^{n}}$. Es decir, que este algoritmo es muy lento. Por ejemplo, para calcular ${\displaystyle f_{50}}$ este algoritmo requiere efectuar 20.365.011.073 sumas.

Para evitar hacer tantas operaciones, es común recurrir a una calculadora y utilizar la ecuación (6) del matemático Édouard Lucas. Sin embargo, dado que ${\displaystyle \varphi }$ es un número irracional, la única manera de utilizar esta fórmula es empleando una aproximación de ${\displaystyle \varphi }$, obteniendo en consecuencia un resultado aproximado pero no exacto. Por ejemplo, si se usa una calculadora de 10 dígitos, entonces la fórmula anterior arroja como resultado ${\displaystyle f_{50}=1.258626903\times 10^{10}}$ aun cuando el resultado correcto es ${\displaystyle f_{50}=12586269025}$. Este error se hace cada vez más grande conforme crece ${\displaystyle n}$. De igual forma se puede crear una función utilizando la fórmula, muy eficiente, ${\displaystyle O(\log _{2}(n))}$, aunque hay que tener en cuenta algunas consideraciones, cada lenguaje de programación tiene una forma específica de ejecución de las funciones matemáticas, y es probable que se necesite redondear el número obtenido de la ecuación, y en ciertos casos, si el número es muy grande, puede ser impreciso.

Algoritmo 2 Versión con fórmula explícita (6) (Complejidad ${\displaystyle O(\log _{2}(n))\,}$)

función ${\displaystyle {\rm {fib}}(n)\,}$ si ${\displaystyle n<2\,}$ entonces devuelve ${\displaystyle n\,}$ en otro caso ${\displaystyle \varphi \gets {\rm {(({1+{\sqrt {5}}})\div {2})}}}$ ${\displaystyle j\gets {\rm {((\varphi ^{n}-\left(1-\varphi \right)^{n}}})\div ({\sqrt {5}}))}$ devuelve ${\displaystyle j\,}$

Otro método más práctico a la recursión, que evita calcular las mismas sumas más de una vez, es la iteración. Considerando un par ${\displaystyle (a,b)\,}$ de números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, el siguiente par de la sucesión es ${\displaystyle (b,b+a)\,}$, de esta manera se divisa un algoritmo donde solo se requiere considerar dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci en cada paso. Este método es el que se usaría normalmente para hacer el cálculo con lápiz y papel. El algoritmo se expresa en pseudocódigo como:

Algoritmo 3 Versión iterativa (Complejidad ${\displaystyle O(n)\,}$) función ${\displaystyle {\rm {fib}}(n)\,}$ ${\displaystyle a\gets 0}$ ${\displaystyle b\gets 1}$ ${\displaystyle c}$ para ${\displaystyle k\,}$ desde ${\displaystyle 0\,}$ hasta ${\displaystyle n\,}$ hacer ${\displaystyle c\gets b+a}$ ${\displaystyle a\gets b}$ ${\displaystyle b\gets c}$ devuelve ${\displaystyle a\,}$

Algoritmo 4 Versión iterativa 2 variables (Complejidad ${\displaystyle O(n)\,}$) función ${\displaystyle {\rm {fib}}(n)\,}$ ${\displaystyle a\gets 0}$ ${\displaystyle b\gets 1}$ para ${\displaystyle k\,}$ desde ${\displaystyle 0\,}$ hasta ${\displaystyle n\,}$ hacer ${\displaystyle b\gets b+a}$ ${\displaystyle a\gets b-a}$ devuelve ${\displaystyle a\,}$

Algoritmo 5 Versión iterativa vector (Complejidad ${\displaystyle O(n)\,}$) función ${\displaystyle {\rm {fib}}(n)\,}$ si ${\displaystyle n<2\,}$ entonces devuelve ${\displaystyle n\,}$ en otro caso ${\displaystyle \mathrm {vector} [0...n+1]}$ ${\displaystyle \mathrm {vector} [0]\gets 0}$ ${\displaystyle \mathrm {vector} [1]\gets 1}$ para ${\displaystyle k\,}$ desde ${\displaystyle 2\,}$ hasta ${\displaystyle n+1\,}$ hacer ${\displaystyle \mathrm {vector} [k]\gets \mathrm {vector} [k-1]+\mathrm {vector} [k-2]}$ devuelve ${\displaystyle \mathrm {vector} [n]\,}$

Estas versiones requieren efectuar solo ${\displaystyle n}$ sumas para calcular ${\displaystyle f_{n}}$, lo cual significa que los métodos iterativos son considerablemente más rápidos que el algoritmo 1. Por ejemplo, en el algoritmo 3 solo se requiere efectuar 50 sumas para calcular ${\displaystyle f_{50}}$.

Calculando ${\displaystyle f_{100}}$ usando el algoritmo 3.

Un algoritmo todavía más rápido se deduce partiendo de la ecuación (10). Utilizando leyes de exponentes es posible calcular ${\displaystyle x^{n}}$ como

${\displaystyle x^{n}={\begin{cases}x&{\mbox{si }}n=1\\\left(x^{\frac {n}{2}}\right)^{2}&{\mbox{si }}n{\mbox{ es par}}\\x\times x^{n-1}&{\mbox{si }}n{\mbox{ es impar}}\end{cases}}}$

De esta manera se divisa el algoritmo de tipo Divide y Vencerás donde solo se requeriría hacer, aproximadamente, ${\displaystyle \log _{2}(n)}$ multiplicaciones matriciales. Sin embargo, no es necesario almacenar los cuatro valores de cada matriz dado que cada una tiene la forma

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\b&a+b\end{bmatrix}}}$

De esta manera, cada matriz queda completamente representada por los valores ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$, y su cuadrado se puede calcular como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\b&a+b\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}a^{2}+b^{2}&b(2a+b)\\b(2a+b)&(a+b)^{2}+b^{2}\end{bmatrix}}}$

Por lo tanto el algoritmo queda como sigue:

Algoritmo 6 Versión Divide y Vencerás (Complejidad ${\displaystyle O(\log _{2}(n))\,}$)

función ${\displaystyle {\rm {fib}}(n)\,}$ si ${\displaystyle n\leq 0}$ entonces devuelve ${\displaystyle 0\,}$ ${\displaystyle i\gets n-1}$ ${\displaystyle {\rm {auxOne}}\gets 0}$ ${\displaystyle {\rm {auxTwo}}\gets 1}$ ${\displaystyle (a,b)\gets {\rm {(auxTwo,auxOne)}}}$ ${\displaystyle (c,d)\gets {\rm {(auxOne,auxTwo)}}}$ mientras ${\displaystyle i>0\,}$ hacer si ${\displaystyle i\,}$ es impar entonces ${\displaystyle {\rm {auxOne}}\gets (db+ca)}$ ${\displaystyle {\rm {auxTwo}}\gets (d(b+a)+cb))}$ ${\displaystyle (a,b)\gets {\rm {(auxOne,auxTwo)}}}$ ${\displaystyle {\rm {auxOne}}\gets (c^{2}+d^{2})}$ ${\displaystyle {\rm {auxTwo}}\gets (d(2c+d))}$ ${\displaystyle (c,d)\gets {\rm {(auxOne,auxTwo)}}}$ ${\displaystyle i\gets i\div 2}$ devuelve ${\displaystyle a+b\,}$

A pesar de lo engorroso que parezca, este algoritmo permite reducir enormemente el número de operaciones que se necesitan para calcular números de Fibonacci muy grandes. Por ejemplo, para calcular ${\displaystyle f_{100}}$, en vez de hacer las 573.147.844.013.817.084.100 sumas del algoritmo 1 o las 100 sumas con el algoritmo 3, el cálculo se reduce a tan solo 9 multiplicaciones matriciales.

Botón de Camomila amarilla mostrando la ordenación en espirales de módulos 21 (color azul) y 13 (color cian). Este tipo de arrollamientos utilizando números consecutivos de Fibonacci aparecen en una gran variedad de plantas.

Espiral de Fibonacci en la sección de la concha de un nautilus.

La secuencia de Fibonacci se encuentra en múltiples configuraciones biológicas,[13] donde aparecen números consecutivos de la sucesión, como en la distribución de las ramas de los árboles, la distribución de las hojas en un tallo, los frutos de la piña tropical,[14] las flores de la alcachofa, en las piñas de las coníferas,[15] o en el "árbol genealógico" de las abejas melíferas.[16] Sin embargo, también se han hecho muchas invocaciones infundadas a la aparición de los números de Fibonacci aprovechando su relación con el número áureo en la literatura popular.[17]

Przemysław Prusinkiewicz avanzó la idea de considerar la sucesión de Fibonacci en la naturaleza como un grupo libre.[18]

Ilustración del modelo de Vogel para n=1 ... 500

Un modelo del patrón de distribución de las semillas del girasol fue propuesto por H. Vogel en 1979.[19] Presenta la forma

${\displaystyle \theta ={\frac {2\pi }{\phi ^{2}}}n,\ r=c{\sqrt {n}}}$

donde n es el índice de la flor y c es un factor de escala; entonces las semillas se alinean según espirales de Fermat. El ángulo de divergencia, de aproximadamente 137.51°, está relacionado con el número áureo. Debido a que el coeficiente es un número irracional, ninguna semilla tiene ninguna vecina al mismo ángulo respecto al centro, por lo que se compactan eficientemente. Debido a que las aproximaciones racionales al número aúreo son de la forma F(j):F(j + 1), los vecinos más próximos al número de semillas n están todos en n ± F(j) para cada índice j, que depende de r, la distancia al centro. Suele afirmarse que los girasoles y flores similares tienen 55 espirales en una dirección y 89 en la otra (o alguna otra pareja de números adyacentes de la sucesión de Fibonacci), pero esto solo es cierto en ciertos rangos de radio, generalmente raros (y por ello más notables).[20]

Fibonaccis Traum, Martina Schettina 2008, 40 x 40 cm.

Una de las curiosidades de dicha serie son los dígitos de sus elementos:

• Empezando en 1 dígito y «terminando» en infinitos, cada valor de dígito es compartido por 4, 5 o 6 números de la serie. Siendo 6 solo en el caso de 1 dígito.

• En los elementos de posición n, n¹⁰, n¹⁰⁰,..., el número de dígitos aumenta en el mismo orden. Dando múltiples distintos para cada n.

• Sean n y m enteros positivos. Si el número n es divisible por m entonces el término n-ésimo de Fibonacci es divisible por el término m-ésimo de la misma sucesión. En efecto 4 divide a 12, por tanto el término de orden cuatro, el 3 divide a 144, término de orden 12 en la citada sucesión.[22]

• Cualquiera que sea el entero m, entre los ${\displaystyle m^{2}-1}$ primeros números de Fibonacci habrá al menos uno divisible por m. A modo de ejemplo para m = 4, entre los primeros quince números están 8 y 144, números de Fibonacci, divisibles por 4.[23]

• Si k es un número compuesto diferente de 4, entonces el número k-ésimo de Fibonacci es compuesto.[24] Para el caso 10, compuesto distinto de 4, el décimo número de Fibonacci 55, es compuesto.

• Los números consecutivos de Fibonacci son primos entre sí.[25]

• Es mencionada en obra Rama II (novela), de Arthur C. Clarke, cuando el personaje Michael O'toole la describe como una referencia para memorizar una larga clave secreta, principalmente por su facilidad de ser extrapolada.

• Número áureo
• Teselación de Penrose
• Sucesión (matemática)
• Sistema-L
• Espiral logarítmica
• Montículo de Fibonacci
• Identidades de Cassini y Catalan
• Número de Lucas
• Número de Pell

• Kolman, Bernard; Hill, David R. (2006). Álgebra Lineal. México: PEARSON EDUCACIÓN. ISBN 970-26-0696-9.
• Johnsonbaugh, Richard (2005). Matemáticas Discretas. México: PEARSON EDUCACIÓN. ISBN 970-26-0637-3.
• Daini, Fabio; Andión, Ricardo (2003). Fibonacci, La Serie Infinita. Madrid: PRETINCE HALL. ISBN 84-89660-00-X.
• Brassard, G; Bratley, P. (1997). Fundamentos de Algoritmia. Madrid: PRETINCE HALL. ISBN 84-89660-00-X.
• Kenneth, H. Rosen (2003). Discrete mathematics and its applications. McGraw Hill. ISBN 0-07-123374-1.
• Kenneth H. Rosen; John G. Michaels (1999). Handbook of discrete and combinatorial mathematics. CRC. ISBN 0-8493-0149-1.
• N. N. Vorobiov (1974). Números de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega, catedrático de Matemática Superior y candidato a doctor en ciencias físico-matemática.
• A. I. Markushevich (1974; 1981). Sucesiones recurrentes. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega.
• Luca Pacioli (1946). La Divina Proporción. Editorial Losada, Buenos Aires.
• Hrant Arakelian (2014). Mathematics and History of the Golden Section. Logos, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0, (rus.)

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre números de Fibonacci.
• Wikilibros alberga un libro o manual sobre implementaciones para generar números de Fibonacci.
• Fibonacci's Liber Abaci vista previa en Google Books (en inglés)
• Weisstein, Eric W. «Sucesión de Fibonacci». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.